协变导数、测地线与通往相对论之路

普通导数为何在弯曲空间上失灵

你来到本级这最后一篇时，所需的一切已尽数在握。从前几篇你已得到指标记号的语言与爱因斯坦求和约定（一对一上一下重复的指标默默地被求和），尤其是那台借线元 ds^2 = g_ij dx^i dx^j 在弯曲空间上量度长度与角度的小机器——[[metric-tensor|度规张量]] g_ij。所缺的，是微积分。我们能在弯曲空间上量度，却还不能诚实地对其上的一个向量场求导——而这道缺口，正是本篇的全部主题。

回想第一卷里的导数：求导，就是把此处的一个向量与近在咫尺处的另一个向量相比、相减，再除以那一小步。问题就出在那个相减上。在用直角坐标的平坦平面上，基向量箭头 e_x 与 e_y 处处指向同一方向，于是把两个相邻向量相减是公平的。可一旦改用极坐标，或踏上一个球面，基向量本身就会随你移动而摆动——某点的径向，并不是隔壁那点的径向。此时单单把分量相减，便是拿苹果比橘子，因为你忽略了量度网格已在你脚下转过了身。

克里斯托费尔符号：转动网格的记账员

修正之路，始于精确写下你每迈一步、每个基向量转动了多少。把基向量 e_i 沿 j 方向求导；结果仍是一个向量，于是它必能写成基向量的组合，其系数我们命名为[[christoffel-symbol|克里斯托费尔符号]] Gamma^k_ij。把这符号读出声：「当你把第 i 支基箭头沿 j 方向推一下时，你拾起了多少第 k 支基箭头」。它们不是张量——在直角坐标下它们消失，在同一张平坦平面的极坐标下又冒出来——这正泄露了它们编码的是网格的行为，而非空间的行为。它们纯是一个转动着的标架的记账。

美妙之处在于，你从不必去猜这些系数：单凭度规便决定了它们。一旦你在每点知道 g_ij，克里斯托费尔符号就被一条完全由度规偏导数搭成的公式钉死：Gamma^k_ij = (1/2) g^km ( dg_mi/dx^j + dg_mj/dx^i - dg_ij/dx^m )，其中 g^km 是逆度规。于是度规——那个曾给你长度与角度的同一件东西——悄悄告诉你坐标标架如何随点而扭转。因此下游的一切：导数、最直路径、曲率，都可仅凭 g_ij 算出，别无所需。

协变导数：终于有了一个诚实的导数

现在把解药配齐。要诚实地对一个向量场 V 求导，就取其分量的普通偏导数，再加上一项把基的转动补回去的修正。这个总和便是[[covariant-derivative|协变导数]]，记作 nabla_j V^k = dV^k/dx^j + Gamma^k_jm V^m。第一项是那些数字的朴素变化；第二项，即克里斯托费尔那一块，把网格摆动所造成的假象减除掉。幸存下来的，是向量本身的真实变化——无论你选哪套坐标都会报出同样数值的那一部分。与朴素偏导数不同，协变导数是一个真正的张量，在任何坐标变换下都正确地变换。

THE COVARIANT DERIVATIVE  (raise the derivative to a curved space)

   nabla_j V^k  =  dV^k/dx^j   +   Gamma^k_jm V^m
                  \---------/      \-----------/
                  naive change      correction:
                  of the numbers    undo the turning of the basis

   built from the metric alone:

   Gamma^k_ij = (1/2) g^km ( dg_mi/dx^j + dg_mj/dx^i - dg_ij/dx^m )

   sanity checks:
     flat + Cartesian  ->  all Gamma = 0  ->  nabla = ordinary partial
     metric-compatible ->  nabla_k g_ij = 0   (the ruler never 'drifts')

协变导数是普通偏导数加上一项抵销网格转动的克里斯托费尔修正；这些符号全然来自度规，而在平坦的直角坐标下，一切又坍缩回那个熟悉的导数。

有一条性质为整套构造定锚：度规的协变导数为零，nabla_k g_ij = 0，称为度规相容性。说白了，你用来量度的那把尺，在它自己的求导下从不改变长度——你那「距离」的观念被一致地随行携带。单这一条要求，连同「不许扭转」（Gamma 对其两个下指标对称）的要求，便把克里斯托费尔符号唯一地钉死；这正是上面那条公式是被逼出来而非挑出来的缘由。协变导数，是那个尊重度规早已铺设好之几何的、独一无二的诚实求导方式。

平行移动与尽可能笔直的路径

有了诚实的导数在手，两个宏大的念头立刻落下来。第一个是[[parallel-transport|平行移动]]：沿一条路径搬运一个向量，同时让它「在空间所允许的限度内尽量保持不变」，即它沿该路径的协变导数为零。你并非把分量冻住——你是让分量恰好按克里斯托费尔那个量改变，好让真实的箭头岿然不动。令人吃惊的事实是：答案竟取决于路线——在球面上把一个向量沿一条闭合回路平行移动，它回来时会转过一个角，其大小等于所围的面积。这种路径依赖，正是曲率在自报家门，而它在平坦平面上毫无对应：那里任何回路总把向量原封不动地送回。

在弯曲空间里选一条路径，并在它的起点放一个初始向量 V。
向前迈出极小一步。基箭头已微微转动，于是 V 的分量必须恰好改变「负的克里斯托费尔修正」那么多，才能让真实箭头继续指向同一个物理方向。
一步接一步地重复；这无非是把方程「V 沿路径的协变导数 = 0」一点一点地解出来。
现在取一个特例：若你所移动的向量正是路径自身的速度，要求它始终与自己平行，便给出测地线方程——那条最直的路径。

那最后一步带来第二个宏大的念头：[[calc-geodesic|测地线]]，即直线在弯曲空间里的化身。直线，是那条永不转弯的路；在弯曲空间上，「永不转弯」意味着把自己的速度平行移动，于是给出测地线方程 d^2x^k/dt^2 + Gamma^k_ij (dx^i/dt)(dx^j/dt) = 0。把克里斯托费尔符号置零（平坦、直角坐标），它便读作 d^2x^k/dt^2 = 0，其解是匀速的普通直线——牛顿第一定律。测地线同时也是最短路径，你可以把它当作一个极小化 ds 之长度积分的欧拉-拉格朗日问题推导出来；在球面上它们就是大圆，这正是为何长途航班要朝两极方向弯出弧线。

曲率，以及它如何成了引力

我们终于能为本级最深的那个对象命名了。在平坦空间上，按不同顺序连取两次协变导数，结果相同——次序无关紧要。在弯曲空间上则不然，而「先沿 i 再沿 j」与「先沿 j 再沿 i」之间的那道差，由[[riemann-curvature-tensor|黎曼曲率张量]] R^l_kij 来量度。它由克里斯托费尔符号及其导数搭成，是那个诚实的曲率：当且仅当空间真正平坦时，它在每一套坐标系里都为零，无论坐标看上去多么扭曲。它恰恰就是一个向量绕一个无穷小回路平行移动后所拾起的那份转动，被打包成了一个张量。

这就是那台化身为广义相对论的整机器。爱因斯坦的飞跃，是把时空本身当成一个带有自己度规的弯曲空间，其中的测地线正是自由下落的物体所循的路径。在这幅图里，一颗绕日运行的行星根本没有被任何力拉扯——它不过是沿着一条穿过「被太阳质量弯曲了的时空」的、可走的最直路径在滑行。引力并非一种把东西拽离直线的力；它是直线本身的弯折。爱因斯坦的场方程于是用一行张量等式道出：物质与能量把时空弯曲了多少——左边的曲率，等于右边的物质-能量。