从曲线的弯曲到曲面的弯曲
在前面讲 Frenet-Serret 标架 的那一篇里，你学会了度量一条曲线如何弯曲：一个数，曲率 kappa，告诉你沿曲线行走时单位切向量转得有多快。曲面更难，也更有趣，因为在每一点它沿不同方向可以弯曲不同的量。站在马鞍上：朝一个方向走地面向上弯，朝垂直方向走地面向下弯。一个数再也兜不住这件事，于是我们需要新机器。本篇用两个对象来搭建它，它们传统上叫做第一与第二基本形式。
把图景具体地搭起来。用一个映射 r(u, v) 来描述曲面，它把一块平坦的 (u, v) 坐标贴片放进三维空间——把 (u, v) 想成地球仪上的经度和纬度，把 r 想成把每一对数钉到球面某点上的法则。两个偏导数 r_u 和 r_v 是速度向量：固定 v 增大 u 时 r_u 指向曲面之内的方向，增大 v 时 r_v 指向曲面之内的方向。这两个切向量张成该点的切平面，即在那里最贴合曲面的那张平面——这恰是曲线切线在曲面上的对应物。
与那张切平面垂直地立着一个方向，即单位法向量 N。你把它造成 r_u 叉乘 r_v，再除以其长度使它大小为一。N 是曲面在每一点的「哪边朝上」，而关于弯曲的几乎一切，都来自观察 N 在你移动时如何倾斜。记住这三件套——躺在曲面里的 r_u、r_v，和指出曲面外的 N——因为两个基本形式无非就是对它们之间点积的仔细记账。
第一基本形式：一把住在曲面里的尺
第一基本形式回答一个问题：若我在坐标里迈出微小一步 (du, dv)，它在曲面上描出的路径有多长？曲面上的一个小位移是 dr = r_u du + r_v dv，其长度平方是点积 dr . dr。展开得 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2，其中 E = r_u . r_u，F = r_u . r_v，G = r_v . r_v。这三个随位置变化的函数，正是你在度量那里见过的线元在二维曲面上写开的样子——E、F、G 就是化了装的度量张量的分量。
一旦有了 E、F、G，你就能在从不离开曲面的情况下做出全部内蕴几何。曲线长度来自对 sqrt(E du^2 + 2F du dv + G dv^2) 积分——这是参数曲线弧长积分的曲面版。两个方向之间的夹角来自这个形式所编码的点积。面积来自对 sqrt(EG - F^2) du dv 的二重积分。量 EG - F^2 是 r_u 与 r_v 张成的小平行四边形面积的平方——它是曲面自己的雅可比行列式，是平坦坐标与真实面积之间的伸缩因子。
第二基本形式：曲面如何弯离
第一基本形式对弯曲是盲的——一个卷起来的圆柱面把它彻底骗过。要看见弯曲，你必须观察曲面如何从它自己的切平面剥离，而这正是第二基本形式所记录的。迈出小小一步 (du, dv)；曲面上的点到二阶像一条小抛物线那样移动，而它沿法向量 N 抬离切平面的量是 II = L du^2 + 2M du dv + N_2 dv^2。这里 L = r_uu . N，M = r_uv . N，N_2 = r_vv . N，是 r 的二阶偏导数与单位法向量的点积。每个系数都在问：沿这个坐标方向，曲面朝 N 卷得有多强？
还有一种更利落地感受第二基本形式的方式：盯着单位法向量 N 的倾斜。在一张平面上 N 从不改变——没有弯曲。在球面上你边走 N 边稳稳地散开，而它摆动得越快，曲面就弯得越急。N 随你沿切方向移动而转动的速率，由一个算子（形状算子）刻画，而第二基本形式恰是你从它读出的弯曲。这是前面那条曲线想法在曲面上的回响——在那里弯曲是切方向转动的速率；如今则是法方向转动的速率。
现在来切曲面。让一张平面穿过该点，包含法向量 N 和一个选定的切方向；交线是一条曲线，它在那张平面里的普通曲率叫做该方向上的法曲率。当你绕 N 旋转切割平面时，法曲率时高时低。它的最大值与最小值 kappa_1 与 kappa_2 是主曲率，而达到它们的那两个互相垂直的方向是主方向——把马鞍的「向上的谷」与「向下的脊」说精确了。
高斯曲率与平均曲率：把两个数合并的两种办法
两个主曲率 kappa_1 与 kappa_2 含纳了局部弯曲，但我们通常想要一个单一的概括数。把它们合并有两种自然办法，而且二者都要紧。高斯曲率是乘积，K = kappa_1 kappa_2；平均曲率是平均，H = (kappa_1 + kappa_2)/2。同样两个数的乘积与平均表现得很不一样，而这种不一样正是曲面如何弯曲的全部故事。
读 K 的符号，你就读出了形状。在球面上两个主曲率朝同一方向弯，所以 K = kappa_1 kappa_2 > 0：曲面呈穹顶状，整个落在它切平面的同一侧。在马鞍上它们朝相反方向弯，一正一负，所以 K < 0：曲面穿过它的切平面。在圆柱面或圆锥面上有一个主曲率为零（那个笔直的方向根本不弯），所以即便东西明明卷着，K 仍 = 0。平均曲率 H 讲的是另一个故事：处处 H = 0 的曲面是极小曲面，是肥皂膜为使面积最小而采取的形状，比如张在两个圆环之间的悬链面。
Both curvatures from the fundamental-form coefficients
first form: E F G second form: L M N2
Gaussian curvature K = (L*N2 - M^2) / (E*G - F^2)
Mean curvature H = (E*N2 - 2*F*M + G*L) / (2*(E*G - F^2))
Principal curvatures kappa_1, kappa_2 are the roots of
kappa^2 - 2*H*kappa + K = 0
so K = kappa_1 * kappa_2 and H = (kappa_1 + kappa_2)/2
Unit sphere of radius a: kappa_1 = kappa_2 = 1/a
-> K = 1/a^2 (>0) H = 1/a
Saddle z = x^2 - y^2 at origin: kappa_1 = +2, kappa_2 = -2
-> K = -4 (<0) H = 0 (a minimal point)高斯绝妙定理：从内部就能感知的曲率
再看看我们是怎么定义这些东西的。第一基本形式 (E, F, G) 是内蕴的——从内部可测。第二基本形式 (L, M, N_2) 看上去无可救药地外在，因为每个系数都是与法向量 N 的点积，而 N 指向内部蚂蚁够不着的周围空间。K 和 H 都由两个形式搭成。所以你会赌：哪个曲率都不可能从内部得知。对平均曲率 H，这一赌押对了。对高斯曲率 K，它错得惊心动魄，而这正是高斯的绝妙定理——拉丁文意为「了不起的定理」，这个词是他亲自挑的。
定理说：高斯曲率 K 只依赖于第一基本形式 E、F、G 及其导数——那个看似外在的第二形式从答案里完全抵消掉了。所以 K 是内蕴的：那只平面蚂蚁，仅凭一把尺、从不看见第三维，就能通过测量它世界里的长度、角度、面积偏离平坦欧几里得预期多少，来算出 K。具体地说，蚂蚁画一个半径为 rho 的小测地圆并量它的周长；在平面上那本该是 2 pi rho，但在弯曲曲面上它是 2 pi rho 乘以 (1 - K rho^2/6 + ...)。这点亏空，通过对 rho 的泰勒展开读出，就把 K 的值交到蚂蚁手里，全然不必援引外部。
这就是为什么你无法把球面无失真地摊到纸上，也是为什么每一张平面世界地图都在撒谎。球面有 K = 1/a^2 > 0；平面有 K = 0；既然 K 是内蕴的，再多的不拉伸弯折也永远无法把一个变成另一个——那会改变两边都被迫认同的一个数。同一条定理解释了为什么圆柱面能完美摊平（起步就 K = 0），而橘子皮从来摊不平（K > 0）；也解释了为什么一块比萨从外缘捏平时会耷拉下来，折成 U 形槽却挺立不倒：折叠造不出 K = 0 所禁止的曲率，于是这块比萨从它逃不开的几何里借来了刚性。
为什么这是通往广义相对论的门
绝妙定理不只是关于橘子的一桩迷人小事；它是整套现代弯曲空间观念的种子。高斯证明了对二维曲面，曲率是内蕴的——仅凭度量便可得知。他的学生黎曼问了那个自然的下一问：若你手里从头到尾只有度量，在任意维数下，而没有可退守的周围空间，又会怎样？答案就是黎曼曲率张量，它纯粹从推广到 n 维的第一基本形式来打包曲率，正是高斯所分离出的那份内蕴数据。再也没有任何「外部」来定义一个法向量 N——而绝妙定理向你保证：你从来就不需要它。
这恰恰是广义相对论所需要的舞台。时空是一个带度量的四维之物，没有第五维可供从外窥看；引力就是那个度量的内蕴曲率，被物质感受为测地线——最直可能的路径，即直线在曲面上的推广——的弯曲。你接下来要遇到的机器，协变导数与克氏符号，正是那件让你仅凭度量、无需任何外部参照便能在弯曲空间上求导的工具。三维中的曲面是热身，在那里你还能靠偷瞄法向量作弊；从此以后，高斯开启的内蕴视角，就是唯一存在的视角。