张量究竟是什么：一台对坐标视而不见的机器
在上一份指南里，你认识了指标记号，学会了分辨楼上的指标与楼下的指标。现在我们要说清，扛着这些指标的那个对象究竟是什么。[[calc-tensor|张量]]是一台机器：它吃进若干向量与若干余向量——给它填上正确数目的槽位——然后吐出一个实数，而且是多重线性地吐：对每个槽位分别是线性的，所以把某个输入向量翻倍就把输出翻倍，某个槽位里的和拆成输出的和。这就是全部定义。一个 (p, q) 型张量有 p 个吃余向量的楼上槽位，与 q 个吃向量的楼下槽位。
其实你早就在摆弄小张量，只是没用这个名字。一个纯粹的数——一个标量——是 (0, 0) 张量：它什么都不吃，它就是自己的值。一个向量是 (1, 0) 张量。一个余向量——那个行向量表亲，你可以把它想成微分形式里的梯度槽位——是 (0, 1) 张量：递给它一个向量，它返回一个数。一个吃进两个向量、返回一个数的矩阵——比如点积，或一个双线性型——是 (0, 2) 张量。「张量」一词的要点不在那一堆数字的阵列；而在那台机器，而机器不在乎你是用哪套坐标把它的数字写下来的。
分量与变换律
下面这幅图能让一切豁然贯通。弯曲曲面上的一支箭是一个固定不变的东西；当你用新坐标重写它，它的分量会变，但箭本身不变。所以分量必须以一种极其特定、被编排好的方式去变，恰好抵消坐标轴的变化——好让底下那个对象毫发无损。记录坐标轴如何变化的那件仪器，就是坐标变换的雅可比矩阵——那一阵列偏导数 dx'^i/dx^j，你在研究多元链式法则时遇见过它。两类指标以两种相反的方式回应它。
楼上的指标标记一个[[contravariant-and-covariant-components|逆变]]分量——一个向量分量 V^i。它「逆着」基底变换：V'^i = 对 j 求和 (dx'^i/dx^j) V^j。想想为什么。如果你把尺子缩到一半长，同一支箭现在就需要两倍数目的尺长去描述，所以它的分量随基底的缩小而增大。楼下的指标标记一个协变分量——一个余向量或梯度分量 omega_i——它以相反的方式变换，用逆雅可比矩阵：omega'_i = 对 j 求和 (dx^j/dx'^i) omega_j。函数的梯度是教科书式的例子：它的分量随基底同向地缩放，因为更陡的坐标会让同一座山头登记出更平缓的「每坐标斜率」。
一般的 (p, q) 张量不过是把这些规则叠起来：每个楼上指标带来一个雅可比因子 dx'/dx，每个楼下指标带来一个逆雅可比因子 dx/dx'，全部对重复的指标求和。这正是[[tensor-transformation-law|张量变换律]]。而下面就是为整套机器正名的回报：当一个逆变 V^i 与一个协变 omega_i 配对并求和——那个缩并 对 i 求和 omega_i V^i——雅可比矩阵与它的逆相遇，由链式法则抵消为恒等。结果是一个纯粹的数，在每套坐标系里都一模一样。那一对左右手相反的变换，正是为了让上指标与下指标配对时产出坐标无关的东西而设计的。那一次抵消，就是整门学问的心跳。
度规张量：弯曲空间的尺子
到目前为止，张量能把东西配对、产出数字，但还没有任何东西告诉你一段长度或一个夹角。在平坦的纸面上，你用勾股法则去量，ds^2 = dx^2 + dy^2；点积白白把长度与夹角交给你。在弯曲的曲面上——一个球面、一个鞍面、引力翘曲的时空——没有全局的勾股法则，于是你在口袋里揣着一条局部的：[[metric-tensor|度规张量]]，记作 g_ij。它是一个对称的 (0, 2) 张量——两个楼下槽位，都吃向量——它的职责就是度量。递给它两个向量 u 与 v，它返回它们的内积 对 i, j 求和 g_ij u^i v^j；把同一个向量递给它两次，它返回那个向量长度的平方。
你真正遇见度规的方式，是通过线元 ds^2 = 对 i, j 求和 g_ij dx^i dx^j——一小步的长度平方的配方。读出一个具体的来。平面上用极坐标 (r, theta)，一小步有 ds^2 = dr^2 + r^2 dtheta^2，所以度规是对角矩阵 [1, 0; 0, r^2]。那个 r^2 就是全部故事：theta 方向上一弧度的步子，跨过的物理距离是 r 而不是 1，而度规正是记住这一点的东西。空间仍然是平的——还是那同一个平面——但坐标是弯的，而度规承载着修正。真正的曲率，那种你用任何巧妙的坐标变换都除不掉的曲率，住在再往前的一步，藏在度规如何随点而变之中。
一旦有了 ds^2，有限曲线的长度便靠寻常的积分回归——正是你在第一卷跑过的那个弧长定积分，只是改由度规供给被积函数。一条路径的长度是沿它对 sqrt(ds^2) 的积分，也就是当参数 t 扫过曲线时对 sqrt(对 i, j 求和 g_ij (dx^i/dt)(dx^j/dt)) dt 的积分。在极坐标平面上它重现出正确的周长与半径；在度规为 ds^2 = R^2 (dtheta^2 + sin^2(theta) dphi^2) 的球面上，它给出大圆距离。极小化这个长度的曲线——一个空间所允许的最直的路径——就是测地线，那正是后续指南的去向。
升降指标
现在度规亮出它的第二项职责，正是这项让指标体操成为可能。因为 g_ij 在它两个槽位里各吃一个向量，你可以只喂给它一个向量、把另一个槽位空着——出来的，是一个余向量。用分量写，降指标读作 V_i = 对 j 求和 g_ij V^j：度规把一个楼上的指标拽到楼下。这不是改名；它是把一个逆变对象真正转换成度规认定它应当与之配对的那个协变伙伴。在 g = [1, 0; 0, 1] 的平坦纸面上，两者在数值上看起来一模一样，这恰恰是为什么第一年的向量微积分从不必区分它们。在弯曲空间里它们就不同了，而这区别要紧。
要反着来——升一个指标，把楼下的指标拽上去——你需要度规的逆，用楼上的指标写作 g^ij，由 对 j 求和 g^ij g_jk = delta^i_k（恒等，即克罗内克符号）所定义。于是升指标读作 V^i = 对 j 求和 g^ij V_j。用 g 降、用它的逆升，是精确的互逆操作，所以接连做这两步会把你送回出发点。这就是那套让你总能用一个上指标去缩并一个下指标的记账法：每当你想求和的两个指标都在楼上、或都在楼下，你就塞进一个度规去翻转其中之一，合法的配对便恢复了。
RAISE and LOWER with the metric g, on the polar plane
( coordinates (r, theta), g_ij = [ 1, 0 ; 0, r^2 ] )
metric (lower a vector, give back a covector):
g_ij = [ 1 0 ] g^ij = [ 1 0 ]
[ 0 r^2 ] inverse [ 0 1/r^2 ]
start with a vector V^i = ( V^r , V^theta ) (upstairs)
LOWER: V_i = sum_j g_ij V^j
V_r = 1 * V^r = V^r
V_theta = r^2 * V^theta = r^2 V^theta <- NOT equal to V^theta !
RAISE it back: V^i = sum_j g^ij V_j
V^r = 1 * V_r = V^r
V^theta = 1/r^2 * V_theta = 1/r^2 * (r^2 V^theta) = V^theta (round trip)
squared length is the SAME number either way:
|V|^2 = g_ij V^i V^j = V_i V^i = (V^r)^2 + r^2 (V^theta)^2诚实的附则，以及这通向何方
对干净叙述略过的几件事要诚实。其一，分量 g_ij 是位置的函数，不是常数——球面上赤道处的度规与极点附近的度规并不相同，而这变化正是下一份指南需要克里斯托费尔符号与协变导数来如实地对张量求导的全部缘由。其二，「对称且可逆」在悄悄出力：度规必须处处非退化，否则长度坍塌。其三，在相对论里度规不是正定的——它带有像 (-, +, +, +) 这样的号差，所以「长度平方」可以是负的或零，而这恰恰把时间与空间分开，并让光沿零长度的路径行进。
- 确定你的对象吃什么——向量、余向量，还是两者都吃——以及各吃几个；这就定下了它的型 (p, q) 以及指标坐落何处。
- 核查它确实是张量：确认它的分量服从变换律——每个上指标一个雅可比，每个下指标一个逆雅可比。
- 请出度规 g_ij 来度量长度与夹角，并在你需要让一个上指标与一个下指标配对时，用 g_ij 与它的逆 g^ij 来降与升指标。
- 把结果当作一句无关坐标的陈述去读：任何靠完全缩并指标（每个上都与一个下配对）造出的量，都是一个真正的标量，在每套标架里都一样。
攥住本指南的三座奖杯。张量是一台对坐标视而不见的多重线性机器，钉住它的不是那堆数字的阵列，而是这些数字所服从的变换律——楼上指标用雅可比，楼下指标用逆雅可比，如此排布，使得一个上与一个下缩并时永远产出一个无关坐标的数。度规张量 g_ij 是那个特殊的对称 (0, 2) 张量，它补上了缺失的尺子：它通过 ds^2 度量长度与夹角，并通过自身与它的逆来升降指标。它仍然做不到的，是求导。一个张量分量的朴素偏导数本身并不是张量，因为当你移动时基底正在你脚下转动——而修补这一点，正是协变导数及其揭示的曲率的职责，是直通广义相对论的那条路。