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亲手搭建正交基

那些正交家族绝非从天而降。取最朴素的积木——幂 1, x, x^2, ...——配上一个选定的权，喂进格拉姆-施密特过程，便能眼睁睁看着勒让德与厄米多项式自行组装出来。

你已有一组基，你想要一组正交的

本台阶前几篇一直把正交性当作礼物送到你手上。斯图姆-刘维尔问题保证了对应不同本征值的本征函数自动正交，而广义傅里叶级数那一篇又展示了：一旦正交家族在手，展开一个函数有多便宜——每个系数一个积分，无需求解任何代数。但这引出一个我们尚未直面的诚实问题：当没人递给你正交家族时，它究竟从何而来？本篇用构造的方式回答它。我们要从能想象到的最乏味的原料里搭建出一组正交基，而那些著名的多项式将作为奖赏掉出来。

从你已经信任的东西开始。幂 1, x, x^2, x^3, ... 是全数学中最熟悉的一组基：每个多项式都是它们的组合，而一条泰勒级数不过就是恰好按这些积木做的展开。所以这些幂早已张成了整个空间——它们是多项式的一组完整的坐标轴。麻烦在于它们是一组倾斜的坐标轴。它们彼此严重重叠；比如在区间 [-1, 1] 上，1 乘 x^2 的积分是三分之二，而非零，所以常值函数与 x^2 远谈不上垂直。在倾斜基里工作，就像在两条以锐角相交的轴上读坐标——每个坐标都漏进别的坐标，你不解出全部就读不出其中任何一个。

于是计划不言自明。我们保留 1, x, x^2, ... 的张成能力——那部分已经完美——并把这些坐标轴扶正，直到它们彼此成直角，同时不改变它们所描述的空间。这套扶正手续就是格拉姆-施密特正交化，是把任意一组基变成垂直基的头号重要算法。你大概在有限维向量那里见过它；这里它对函数原封不动地照样管用，只要我们就「垂直」对两条曲线意味着什么达成一致。那个一致正是全部微妙之处，也正是权介入的地方。参见格拉姆-施密特正交化。

「垂直」对两条曲线意味着什么

对空间中的两支箭，垂直意味着点积为零：把对应分量相乘、加起来、得到零。对两个函数，我们把这个配方升高一档照抄。把对应分量相乘变成把两条曲线逐点相乘；把分量加起来变成在区间上积分。于是两个函数 f 与 g 在区间 [a, b] 上的天然内积，就是 integral over [a, b] of f(x) g(x) dx，而当这个积分为零时两条曲线恰好正交。点积变成了积分，这就是你需要的唯一一个真正新的想法。

但第一篇的斯图姆-刘维尔机制早已提醒我们：正交性通常自带一个权函数 w(x)——当一个算子写成自伴形式时，它的本征函数不是在朴素积分下、而是在带权积分下正交。所以我们从一开始就采用一般定义。f 与 g 的带权内积是 integral over [a, b] of f(x) g(x) w(x) dx，其中 w(x) 是一个固定的正权。当这个带权积分为零时两条曲线正交。这就是带权正交性，而整篇的妙处在于：区间与权的选择，是决定你将搭出哪个著名家族的唯一输入。

格拉姆-施密特：减去投影，重复

整个算法就是一个生动想法的反复施用：要让一个新向量垂直于你已有的那些，就减去它在每一个上的投影。从几何上看，一个向量在某条已有轴上的投影（影子），是它沿那条轴的那一部分；把它去掉，剩下的就纯粹指向侧旁，垂直于那条轴。对你迄今搭出的每一条轴都这么做，剩余部分就一举垂直于它们全体。格拉姆-施密特不过是把这套去影手续，沿原始幂的清单按顺序一个接一个地跑下去。

  1. 取第一个原始幂，即常数 1，原封不动；称之为第一个家族成员 u_0。它前面没有任何东西需要去垂直，所以它就这样起头这组基。
  2. 取下一个原始幂 x。算出它在 u_0 上的投影（x 与 u_0 的带权内积，除以 u_0 与自身的内积，再乘 u_0），把这个投影减掉。剩下的 u_1，保证垂直于 u_0。
  3. 取 x^2。减去它在 u_0 上的投影以及它在 u_1 上的投影——两个都得去掉。剩下的 u_2，垂直于前两个成员。对 x^3, x^4, ... 继续，每次都剥掉它在已搭出的每个成员上的每一道投影。
  4. 可选地归一化：用每个完成的 u_k 除以它自身的范数，使其长度为 1。要得到干净的系数公式，正交就够了；标准正交只是整理过的、单位长度的版本。

注意一个结构性事实，它稍后会让你安心：因为 u_k 是 x^k 减去一组低次幂的组合，每个 u_k 本身都是一个恰好 k 次的多项式，带一个新的最高次幂以及其下的修正。所以你培育出的家族，每个次数恰好有一个多项式，而你可以在任何次数处停下，仍然拥有一组对那一次数以内的多项式完美适用的正交基。这正是所有经典家族的结构。现在我们用两个不同的权摇动这台机器，看着两个不同的著名家族列队走出。

在 [-1, 1] 上取权 1，长出勒让德

做最简单的选择：区间 [-1, 1] 配最朴素的权 w(x) = 1。这里内积就是在 [-1, 1] 上的普通积分。一个对称性捷径省去大量算术：在对称区间上，任何奇函数的积分为零，因为左半与右半相消。记住这点，许多投影还没算就已消失。开动机器：u_0 = 1。接着是 x——它在 u_0 上的投影是否已为零？这道投影用到 integral over [-1, 1] of x times 1，是个奇函数的积分，故为零。所以 x 早已垂直于 1，于是 u_1 = x 原样保留。

现在是第一个真正的减法。取 x^2，去掉它在 u_0 = 1 和 u_1 = x 上的投影。它在 x 上的投影为零（x^2 乘 x 在 [-1, 1] 上的积分是奇积分，没了）。它在 1 上的投影不为零：integral over [-1, 1] of x^2 等于三分之二，而 1 乘 1 的积分等于二，所以投影系数是（三分之二）除以二，即三分之一。相减：u_2 = x^2 减三分之一。这就是勒让德的形状——差一个惯用的缩放 P_2(x) = (3 x^2 减 1) over 2，恰好就是我们 u_2 的 3/2 倍。经典的勒让德多项式就这样从幂里自行组装出来，没有方程，没有运气，只有减投影。

Weight w(x) = 1 on [-1, 1].  Inner product <f,g> = integral_{-1}^{1} f g dx.
(Odd integrands over [-1,1] vanish, killing most shadows.)

  u0 = 1
  u1 = x  -  ( <x,1>/<1,1> ) * 1   =  x  -  0       =  x
  u2 = x^2 - ( <x^2,1>/<1,1> )*1 - ( <x^2,x>/<x,x> )*x
            <x^2,1> = 2/3,  <1,1> = 2  ->  shadow coeff = 1/3
            <x^2,x> = 0 (odd)          ->  no shadow on x
     u2 = x^2 - 1/3

Conventional rescaling (force P_n(1) = 1):
  P0 = 1,   P1 = x,   P2 = (3x^2 - 1)/2  =  (3/2) * u2

Same machine, only the WEIGHT and INTERVAL change to switch families.
在 [-1, 1] 上以权 1 摇动格拉姆-施密特两轮。减投影后的剩余即勒让德多项式，差一个把 P_n(1) = 1 钉住的惯用缩放。

换一个权，改长出厄米

现在到了构造证明其价值的时刻：算法什么都不改，只换栖息地。移到整条实轴 (-infinity, infinity)，采用钟形权 w(x) = e^{-x^2}，即贯穿特殊函数那一台阶的高斯形状。同样的奇函数对称性仍然有用——在对称定义域配对称权下，奇被积函数照样积分为零。新成分仅仅是：内积积分现在跑到无穷，并依赖高斯积分：e^{-x^2} 在整条直线上的积分是根号 pi，而 x^2 e^{-x^2} 的积分是半个根号 pi。

跑一模一样的三步。又是 u_0 = 1。对 x，它在 1 上的投影用到 x e^{-x^2} 在直线上的积分，是奇被积函数，为零——于是又得 u_1 = x。对 x^2，它在 x 上的投影因奇性再次为零，而它在 1 上的投影系数是（x^2 e^{-x^2} 的积分）比（e^{-x^2} 的积分），即（半个根号 pi）比（根号 pi），恰好二分之一。相减：u_2 = x^2 减二分之一。这就是厄米的形状：经典约定写作 H_2(x) = 4 x^2 减 2，恰好是我们 u_2 的 4 倍。同一台机器、同样的幂，只是换了个权——走出来的便是另一个厄米多项式家族。

停下来体会刚发生的事，因为这就是本篇的教益。勒让德与厄米并非课本要你背诵的两个互不相干的发明。它们是同一个算法——把幂正交化——用两个不同的权跑出来的：有限区间上 w = 1，对整条直线上 w = e^{-x^2}。拉盖尔是同一台机器配半直线上的权 e^{-x}；切比雪夫是同一台机器配 [-1, 1] 上的权 1 over the square root of (1 - x^2)。那些著名家族不是一群各异的特种生物；它们是同一项构造在四种不同灯光下拍出的照片。权就是那个旋钮，转动它便选定家族。

诚实的限度，以及它接下来指向何处

在你太信任这套配方之前，说几句诚实话。第一，归一化是约定，而非自然事实：我们的原始 u_2 是 x^2 减三分之一，经典 P_2 是 (3 x^2 减 1) over 2，而一个把范数归到 1 的物理学家又会写出另一个倍数。三者差一个缩放，是同一条曲线，你必须始终核对某个公式假定的是哪种约定——正交性是真的，首项常数是一种选择。第二，格拉姆-施密特要求这些幂相对该权确实可积；在无穷区间上，权必须衰减得足够快以压住 x^k 的增长，这正是厄米为何需要强劲的 e^{-x^2}、而不是衰减更慢的尾巴。

第三，一条在真实计算中会咬人的提醒：在有限精度算术里做的经典格拉姆-施密特，数值上很脆弱。早期的成员在扶正前几乎平行，所以减它们的投影就是在减两个近乎相等的大数，舍入误差会让正交性在你到达高次时悄悄漂走。补救办法是一种重排版本，叫修正格拉姆-施密特，它边走边逐个减去投影；它在数学上完全等同，但在计算机上稳健得多。对上面那种纸笔家族这从不要紧，但这正是生产代码很少照课本算法原样跑的原因。

带走这幅可用的图景。正交基不是魔法馈赠；它是一组你扶正过的基，而格拉姆-施密特就是那番扶正——减去在每条已搭轴上的投影，留下那垂直的剩余。区间与权是仅有的两个旋钮，转动它们就让同一台机器从不同的门走出，成为勒让德、厄米、拉盖尔或切比雪夫。如今你已凭构造握有一个货真价实的正交家族，便有本事免费地把任何合理的函数在其中展开，这恰是先前那份广义傅里叶的回报。本台阶最后一篇会对这些同样的本征函数提一个不同的问题——不是如何搭建这组基，而是如何迅速估计它的本征值——并用瑞利商作答。