三个方程，一个拉普拉斯算子，三种脾性
在上一篇里，你学会了把一个二阶偏微分方程归入三个盒子之一——抛物型、双曲型或椭圆型——办法是看一个判别式的符号，正像圆锥曲线的判别式区分抛物线、双曲线与椭圆那样。那次分类并不是为分类而分类的记账。每个盒子都有一个干净的代表，一个范式方程，盒子里其余每个方程的行为都像它；而这三个代表正是本阶梯的主题。把它们认认真真地认识一遍，偏微分方程理论的其余部分就成了三个主题的变奏。
先抓住一个令人吃惊的统一性：这三个方程都由同一个空间算子搭起来，那就是拉普拉斯算子 nabla^2 u，它在一维里无非是 d^2u/dx^2，在一般情形里是各不混合的二阶偏导数之和，d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 + d^2u/dz^2。拉普拉斯算子量度的是一个点上的取值比它紧邻邻居的平均值低了多少——它就是曲率，推广到了许多方向上。把这三个方程区分开来的，根本不是空间部分。这完全是一个关于左边、关于时间的问题：一个时间导数、两个时间导数，还是一个也没有。
THE THREE MODEL EQUATIONS (u = u(x, t) or u = u(x, y))
HEAT / diffusion (parabolic) du/dt = k * nabla^2 u
WAVE (hyperbolic) d^2u/dt^2 = c^2 * nabla^2 u
LAPLACE (elliptic) nabla^2 u = 0
POISSON (elliptic) nabla^2 u = f (= source)
Same Laplacian on the right. The TIME side decides everything:
one d/dt -> smoothing, irreversible, settles forever (heat)
two d^2/dt^2 -> oscillation, reversible, travels at speed c (wave)
none -> the steady, settled state itself (Laplace)热：抹平、遗忘、单向的时间
热方程 du/dt = k nabla^2 u 用大白话说就是：一个点的温度在时间里上升的速度，恰好正比于它比邻居的平均温度低了多少。这就是右边的拉普拉斯算子，把它读作一支度量局部失衡的温度计。在你比周遭更冷的地方（拉普拉斯算子为正），你会变暖；在你是一根灼热尖峰的地方（拉普拉斯算子为负），你会变凉。净效果是无情的取平均：鼓包被抹平、凹陷被填满，任何尖锐的特征都被涂抹开去。把墨水滴进静水里，或把一根金属棒的一端凑近火焰——同一个方程，其中 k 是扩散系数，支配着扰动如何铺展。
因为只有一个时间导数，方程只需要时间上的一张快照就能启动：那就是初始条件 u(x, 0)，起始时刻处处的温度。这与第一卷里一阶常微分方程的逻辑如出一辙，那里 dy/dt = f 只需要一个起始值 y(0)——时间上一个导数，时间上一个初始数据。你不会、也绝不可以再去指定 t = 0 处的 du/dt；方程本身会从空间形状替你把它算出来。再配上空间中的边界条件（棒的两端在所有时间里都在做什么），未来就被完全确定下来了。
波：振荡、记忆、双向的时间
波动方程 d^2u/dt^2 = c^2 nabla^2 u 看起来几乎一模一样，但那唯一的改动——左边换成二阶时间导数——把脾性整个翻了过来。把它读作一根绷紧的弦上的牛顿定律：d^2u/dt^2 是位置 x 处那一小段弦的加速度，而右边的拉普拉斯算子是回复力，因为一小段坐落在邻居平均值之下的弦，会被张力往上拽。朝平均值加速、而不是朝平均值有速度，这才是产生振荡而非衰减的配方——这正是「有阻尼地滑向静止」与「弹簧上的质量过冲后又荡回来」之间的区别。位移并不会摊平；它来回晃荡，其中 c 是波速。
两个时间导数意味着两个初始条件，这下子类比的是像弹簧上质量那样的二阶常微分方程，它既要一个初始位置又要一个初始速度。对这根弦，你必须给出 u(x, 0)，即初始形状（你怎么拨的它），还要给出 du/dt(x, 0)，即初始速度（你拨它时是否还让它带着运动）。只给形状，未来就当真无法确定——一根吉他弦被拨动后松手，与同样形状被横向一弹送出去，二者的行为并不相同。两份数据在物理上都是真实的，在数学上也都是必需的。
还有两处与热更深的对照值得点名。第一，波动方程是可逆的：把 t 换成 -t 它不变（二阶导数察觉不到这个符号翻转），所以一段振动弦的影片倒着放看起来同样合乎物理——没有时间之箭，也没有细节的涂抹消失。第二，信号以有限的速度 c 传播。某处的扰动在一列波真正抵达之前，别处是感觉不到的；在无穷长的直线上，这一点被达朗贝尔解精确地刻画出来，它把任意初始形状劈成两份副本，以速度 c 分别向左、向右滑走。相比之下，热在技术上是处处瞬时响应的（这是理想化模型的一个缺陷，因为真实的扩散其实也有速度上限）。
拉普拉斯与泊松：没有时钟的方程
现在把时钟整个关掉。等得足够久，一块被加热的平板就不再变化了——每一点都达到了它邻居的平均值，于是拉普拉斯算子处处为零，du/dt 也死去了。剩下来的就是拉普拉斯方程 nabla^2 u = 0，稳态的方程：边缘被固定住的平板那最终安顿下来的温度、绷在一个金属丝环上的肥皂膜的形状、无电荷区域里的静电势。它的解被称为调和函数，并且有一条优美的定义性质——均值性质：任一点的取值，等于以它为心的任意圆（或球）上诸值的平均。调和函数实实在在就是一个自身不带任何鼓包的函数；它平到了边界所允许的极限。
当稳态是被一个永不关闭的源所驱动时——平板内部一根长烧不停的导线、坐在该区域里的一个电荷——右边就不再是零了，于是你得到泊松方程 nabla^2 u = f，其中 f 记录着每一点上的源强度。拉普拉斯不过是把源关掉（f = 0）的泊松。在静电学里这是主方程：nabla^2（电势）= -（电荷密度）/（介电常数），它说的是：电荷正是那些把一片本会平坦的电势地貌按下去、顶起来的凹坑与尖峰。
既然没有时间变量，就没有任何「初始」的东西——你无法为一个描述「已经不再变化之物」的方程给出一个起始时刻。取而代之，这些方程活在一个封闭区域上，只索要它整条边界上的数据：这是一个纯粹的边值问题。把温度沿平板边沿一圈全部钉死，内部随之就被完全且唯一地确定。极值原理把这一点说得活灵活现：一个调和函数只在边界上取到它最热与最冷的值，绝不会严格地在内部取到——稳态的平板内部没有任何一处热点是边缘不曾安放的。这正是为什么单单固定边界就足以固定其内部的一切。
每一个方程有资格索要什么数据
把这个格局收拢起来，因为它是本阶梯里最有用的一条规则：时间导数的个数告诉你要给几个初始条件，而空间边界则总是需要沿其边沿一整圈、在所有时间上都给条件。热（一个 d/dt）要一份初始分布；波（两个 d^2/dt^2）要两份——形状和速度；拉普拉斯与泊松（没有时间）什么初始数据也不要，只要完整的边界。把数目对准。条件太少，答案就钉不死；条件太多，你就过度约束了一个物理上说本已确定的系统，而通常这时根本不存在任何解。
边界条件本身有三种风味，由物理来挑选用哪一种。狄利克雷条件固定边界上的值——棒的两端被维持在 0 度、膜被夹在一个框上。诺伊曼条件固定通量，即法向导数 du/dn——一个不漏热的绝热端（du/dn = 0），或一道自由、无所系缚的边。罗宾条件把这两者掺起来，比如一个表面以正比于自身温度的速率向空气辐射热量时。你用哪种风味，是由那条边界上世界正在做什么所决定的，而不是由数学口味决定的。
- 给方程分类：数它的时间导数（零个、一个还是两个）——这就是上一篇里抛物型／双曲型／椭圆型的判定。
- 在 t = 0 处给出相应数目的初始条件：拉普拉斯／泊松零个，热一个（u），波两个（u 与 du/dt）。
- 沿空间区域的边界一整圈、在所有时间上指定一个边界条件——狄利克雷（值）、诺伊曼（通量）或罗宾（两者的混合），由每条边的物理来挑选。
- 检查它是否适定：解应当存在、唯一，并且连续地依赖于数据——恰到好处的信息量，不多也不少。
适定性，以及从这里出发的路
把这一切系在一起的词是适定性，出自阿达马，它有三个苛刻的部分。一个问题若满足以下三条，就是一个适定问题：（1）解存在，（2）解唯一，（3）解连续地依赖于数据，从而初值或边值里一个微小的抖动只会让答案产生一个微小的抖动。正确的边界与初始数据——按上面那条计数规则与方程的类型相匹配——恰恰就是为你换来这三条的东西。错误的数据会破坏其中之一，而这种破坏不是单纯的麻烦；它通常意味着你把物理建错了模。
你现在手里有了这套角色，以及支配它们选角的规则。你还没有的，是一个真正去求解它们当中任何一个的办法——而那正是接下来几篇的主题，分离变量法将在那里登场。那里的方案很优雅：猜想解能分解成一个空间的函数乘以一个时间的函数，眼看着单个偏微分方程裂成两个你在第一卷里早已会处理的常微分方程，然后把诸解叠加成一个级数——其实就是傅里叶级数——以此重建出完整的答案。这也正是为什么上一阶梯先讲了傅里叶级数。要提醒的是，分离变量法并非万能求解器；它只在特殊的、对称的几何形状上、配合好打交道的边界条件时才奏效。但对我们这三个范式方程而言，无论是在一根棒、一个矩形还是一个圆盘上，它都是那把万能钥匙，而你现在已经准备好去转动它了。