从一个自变量到多个自变量
你到目前为止解过的每一个微分方程，都只有一个自变量——通常是时间 t 或位置 x——而未知量是那一个东西的函数，y(t) 或 y(x)。整个上一级都住在那里。但真实世界很少配合得这么整齐。金属棒里的温度不只是你所在位置的函数；它是位置和时刻共同的函数，u(x, t)。鼓面的位移依赖于两个空间坐标和时间，u(x, y, t)。一旦未知量依赖于不止一个自变量，它的导数就分裂成偏导数——固定 t 求 du/dx，固定 x 求 du/dt——而一个把它们关联起来的方程，就是偏微分方程，简称 PDE。
这绝不是一小步；它彻底改变了游戏的性质。当你解一个常微分方程时，通解携带几个任意常数，而少数几个初始条件就把它们钉死。偏微分方程的通解则携带任意函数，而要从中挑出唯一的答案，需要整条曲线或整张曲面的数据——起始时刻整根棒上的温度分布、一块板四周边缘上始终保持的取值。判定哪些数据使问题适定，这套记账确实更难，而我们马上要定义的方程类型，正是决定哪些数据被允许的东西。
阶与线性：读出偏微分方程的指纹
在分类之前，先学会读出任何偏微分方程的两个基本特征——它的阶与线性。阶就是出现的最高阶导数，与常微分方程完全一样。热方程 du/dt = k d^2u/dx^2 是二阶的，正因为那个 d^2u/dx^2；波方程 d^2u/dt^2 = c^2 d^2u/dx^2 也是，拉普拉斯方程 d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0 也是。这并非偶然：物理交给我们的偏微分方程绝大多数都是二阶的，因为自然定律大多是用「一个变化率本身变化得多快」来书写的——加速度与曲率，它们都是二阶导数。
线性是让整门学问可解的那个性质。一个偏微分方程是线性的，是指未知量 u 及其所有导数都只以一次幂出现，彼此从不相乘，也从不被裹进正弦或平方里。上面三个方程全都通过：u 及其导数都明明白白地待在那里，各为一次幂。回报恰恰是你在解线性常微分方程时倚仗过的叠加原理——若 u_1 与 u_2 都满足一个线性齐次偏微分方程，那么任何组合 c_1 u_1 + c_2 u_2 也满足。这就是把一个复杂解由简单解相加搭起来的许可证，也是分离变量法的根基，而本级正是为教这个方法而设。对照一下 u du/dx 这样的项（流体流动中的一项）：u 乘以它自己的导数是非线性的，叠加随之死去，激波与湍流便成为可能。
判别式：一个数把一切分类
现在是核心动作。把两个变量的一般二阶线性偏微分方程写成它的标准形状：A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低阶项）= 0，其中 u_xx 表示 d^2u/dx^2，u_xy 表示混合的 d^2u/dx dy，而 A、B、C 是那些二阶导数项的系数——也就是最高阶部分，它主导着解的行为方式。把其余一切都剥掉，只留这三个数，组成一个单一的组合，即判别式 B^2 - AC。这一个数，仅由那些主项系数算出，正是二阶线性偏微分方程的分类完全所系之处。
Standard form: A u_xx + 2B u_xy + C u_yy + (lower order) = 0 Discriminant: D = B^2 - AC (built from the leading coefficients only) D < 0 ELLIPTIC equilibrium / steady state e.g. Laplace u_xx + u_yy = 0 D = 0 PARABOLIC diffusion / smoothing e.g. heat u_t = k u_xx D > 0 HYPERBOLIC waves / signals at finite speed e.g. wave u_tt = c^2 u_xx Laplace: A=1, B=0, C=1 -> D = 0 - 1 = -1 < 0 elliptic Heat: A=k, B=0, C=0 -> D = 0 - 0 = 0 = 0 parabolic (here y plays the role of t) Wave: A=c^2,B=0,C=-1 -> D = 0 - (-c^2) = c^2 > 0 hyperbolic (here y plays the role of t)
三大方程的三种性格
这个标签不是归档的约定俗成——它是关于解将如何存活的一则预言。[[elliptic-equation|椭圆型]]方程，其原型是拉普拉斯方程 d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0，描述一个处于平衡、完全没有时间的系统：搭在一圈弯曲铁丝上静止的肥皂膜、边缘被固定的板的稳态温度、静电势。在边界任意一处扰动它，整个内部都会瞬间感觉到。它的解极其光滑（在内部无穷可微），并且服从一条极值原理——最热与最冷的点都坐落在边界上，绝不在平静的内部。
[[parabolic-equation|抛物型]]方程，其原型是热方程 du/dt = k d^2u/dx^2，描述时间中不可逆的抹平。让一根棒以一道尖锐的热脉冲起步，然后看着：尖峰瞬间塌成一个圆鼓包，继而摊平、扩散，永远地朝着均匀的温热模糊而去。两个诚实的特征标记着这一类型。其一，它猛烈地抹平——哪怕是带棱带角、参差不齐的初始分布，下一刻就变得完美光滑。其二，它不可逆：把时钟倒拨，方程便剧烈地不稳定，这正是「你无法把奶油从咖啡里搅回去」这一朴素事实背后的数学。信息漏走，无法找回。
[[hyperbolic-equation|双曲型]]方程，其原型是波方程 d^2u/dt^2 = c^2 d^2u/dx^2，描述以有限速度 c 传播的信号，它的行为与另外两类全然不同。它不抹平——被拨弦上一道尖锐的折角始终保持尖锐，只是单纯地行进，一个棱角沿着弦毫不减损地骑行而过。它可逆——把一段振动拍下来倒着放，它依然满足这个方程。而且它有一道严格的速度上限：某一点处的扰动，要等到时间足够长、让波抵达之后，远处的某一点才能感觉到。这种有限的传播速度（椭圆型与抛物型至少在形式上都以无穷快的速度散布影响），正是双曲型的标志，也正因如此，它是光、声与信号的方程。
诚实的小字条款，以及前方的路
几句诚实话，能防止这变成一句被你误用的口号。那个干净的三分，恰恰是针对两个自变量的二阶线性方程；判别式判据是两变量的情形。变量更多时，主项是一个二次型，其系数矩阵带有一个符号差，你便按它特征值的正负号来分类——全都同号时为椭圆型，有一个异号时为双曲型，退化的临界情形为抛物型——但精神完全一致。而且类型可以因地而异：一个方程可以在某区域是椭圆型、在另一区域是双曲型（跨声速气流便以在声速处切换而闻名），所有有趣的物理都恰恰活在二者之间的边界上。
- 数一数自变量的个数，找出最高阶导数——这告诉你它是一个偏微分方程，并给出它的阶（对这里的物理而言几乎总是二阶）。
- 检查线性：u 及其导数是否都只以一次幂出现、从不彼此相乘？若是，叠加便可用，本级的方法便适用。
- 从二阶导数项读出 A、B、C，算出判别式 B^2 - AC；它的符号即定类型——椭圆型（< 0）、抛物型（= 0）或双曲型（> 0）。
- 用类型来预期正确的行为、提供正确的数据：带封闭边界的平衡（椭圆型）、从初始状态出发的抹平（抛物型），或从初始状态出发的有限速度信号（双曲型）。
这就是本级整片地形的概貌。你现在能看着一个陌生的偏微分方程，叫出它的阶、检验它的线性、算一个判别式，并大致预言它的解将如何存活、什么数据会把它们钉死。后面几篇指南将逐个拿起那三个模型方程并真正去解它们——用分离变量法，它把每个偏微分方程化为一族你早已掌握的常微分方程，而它之所以管用，恰恰因为这些方程是线性的。你刚学到的分类是地图；分离变量法则是带你穿越这张地图的车。