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求特解

齐次问题已经解决——现在驱动项来了，你只需要一个能回应它的解。三件工具来完成这件事：当驱动项很「乖」时聪明地去猜，当它不乖时一路积分出答案，再从你已有的一个解里挤出那个缺失的第二解。

齐次部分之后，还剩什么

前面几篇指南攻下了齐次方程——右端为零的那种，像 y'' + a y' + b y = 0。你建起它的特征方程，读出根，再拼出一个基本解组 y_1、y_2，它们的组合 C_1 y_1 + C_2 y_2 扫遍每一个解。这个组合就是齐次解 y_c。但真实问题很少在右端保持沉默：弹簧被推，电路被驱动，梁被加载。方程变成 y'' + a y' + b y = g(x)，带着一个真正的驱动项 g(x)，单凭 y_c 已经满足不了它。

下面这个结构性事实，让本指南余下的一切成为可能——它正是线性的馈赠。把方程写成 L[y] = g，其中 L 是线性微分算子 L = d^2/dx^2 + a d/dx + b。假设你能找到仅仅一个被 L 送到 g 的函数 y_p，即 L[y_p] = g。那么这个受迫方程的通解恰恰是 y = y_c + y_p：整族齐次解，被那单独一个特解整体平移过去。一行就能验证——L[y_c + y_p] = L[y_c] + L[y_p] = 0 + g = g——你便看见线性在替你干活。

待定系数法：一次有根据的猜测

当驱动项 g(x) 属于一小串格外乖巧的形状之一——多项式、指数 e^{r x}、正弦或余弦，或它们的乘积——待定系数法几乎是白送给你一个 y_p。这个想法极其直白：这些函数在求导下会再生出同类。对多项式求导，得到多项式；对 e^{r x} 求导，得到 e^{r x} 的倍数；对 sin 和 cos 求导，永远只在 sin 与 cos 之间来回倒换。所以特解必定住在与驱动项相同的那个小家族里——你猜一份带未知系数的 g(x) 副本，再让方程告诉你这些系数是多少。

用 y'' - y' - 2y = 4x^2 来具体想象。驱动项是一个二次多项式，所以猜上完整的二次多项式 y_p = A x^2 + B x + C——绝不只猜 A x^2，因为求导会溢出到你必须准备好去匹配的低次项。求两次导、代入、归并：左边得到 -2A x^2 + (-2A - 2B) x + (2A - B - 2C)，它必须等于 4x^2 + 0x + 0。逐一匹配 x 的各次幂，得到三个朴素的代数方程，于是 A = -2、B = 2、C = -3 滚落出来，故 y_p = -2x^2 + 2x - 3。这道微积分问题已经化成了求解一个小小的线性方程组——这正是该方法全部的魅力所在。

参数变易法：永远管用

待定系数法快，但脆弱：它只对那一小串菜单上的驱动项管用。要是 g(x) = tan(x)、sec(x)，或任何不在单子上的东西呢？那就请出参数变易法，一种除了「你能积分」之外对 g 一无所求的方法，因而能对付任何驱动项。它的想法是一记小小的神来之笔。齐次解是 C_1 y_1 + C_2 y_2，其中 C_1、C_2 是常数。参数变易法说：让那些常数变起来。去找 y_p = u_1(x) y_1 + u_2(x) y_2，把那两个数提升成两个未知函数，恰到好处地弯折齐次解，好把驱动项吸收掉。

两个未知函数需要两个条件。一个是方程本身；另一个我们可以自行选择，而一个聪明的选择能让代数保持干净：要求 u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0，这在那些杂乱的二阶导数项冒头之前就把它们杀掉。有了它，方程塌缩成 u_1' y_1' + u_2' y_2' = g。现在你有了关于两个未知导数 u_1' 和 u_2' 的两个线性方程，而它们的行列式恰恰是朗斯基行列式 W = y_1 y_2' - y_2 y_1'——正是这同一个量，因其非零，当初才认证了 y_1 与 y_2 的线性无关。解出来，再积分，y_p 就归你了。

Given  y'' + a y' + b y = g(x),  with homogeneous basis y_1, y_2:

  Wronskian   W = y_1 y_2' - y_2 y_1'      (nonzero since y_1, y_2 independent)

  u_1' = - y_2 g / W        u_2' = + y_1 g / W

  u_1 = INTEGRAL( - y_2 g / W ) dx     u_2 = INTEGRAL( + y_1 g / W ) dx

  particular solution:   y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2

Example  y'' + y = sec(x):  y_1=cos x, y_2=sin x, W=1
  u_1 = INTEGRAL(-sin x sec x)dx = ln|cos x|,   u_2 = INTEGRAL(cos x sec x)dx = x
  y_p = cos(x) ln|cos x| + x sin(x)        (undetermined coefficients cannot touch sec x)
参数变易法的配方：朗斯基行列式坐在每个分母里，而那两个积分是该方法唯一可能卡住的地方——不是原理上卡住，而是因为积分本身可能是非初等的。

对这里「永远管用」是什么意思，要诚实。这个方法永远能产出正确的那两个积分——这一步从不失败。但那些积分本身可能是非初等的，意思是不存在用初等函数写出的公式，正如 e^{-x^2} 的高斯积分没有初等原函数。「非初等」并不意味着不可计算：你仍可以把答案诚实地留作一个积分，或数值地算到任意精度。参数变易法永远把问题归结为积分；那个积分漂不漂亮，是另一个问题，而且答案并不总是友善的。

降阶法：一个解生出两个

上面两种方法都悄悄假定你已经握有完整的齐次基 y_1、y_2。对常系数方程，特征方程把两个都交给你。但对变系数方程——a 和 b 依赖 x——根本没有特征方程，而你往往只能靠观察或运气找到一个齐次解。降阶法正是把那单独一个 y_1 变成一整对的工具。它的前提是同一招变形术：把第二个解找成 y_2 = v(x) y_1，即已知解乘上一个未知函数 v。

把 y_2 = v y_1 代入齐次方程，看魔术上演。因为 y_1 本来就满足方程，所有带 v（未求导）的项恰好相消——这个相消正是 y_1 必须是一个已知解的原因。幸存下来的项只含 v' 和 v''，从不含 v 本身。令 w = v'，一个关于 v 的二阶方程就变成关于 w 的一阶方程——阶数真真切切地降了一阶，方法之名即由此而来。解这个一阶方程（一个可分离或线性的方程），把 w 积分得到 v，于是 y_2 = v y_1 就是你那个独立的第二解。

一个鲜活的例子：x^2 y'' - x y' + y = 0（一个欧拉方程）有显而易见的解 y_1 = x。令 y_2 = v x；代入并经 w = v' 的替换，留下 x w' + w = 0，一个可分离的一阶方程，给出 w = 1/x，于是 v = ln(x)，第二解便是 y_2 = x ln(x)。这两者，x 与 x ln(x)，是独立的——它们的朗斯基行列式是 x，在 x > 0 时非零——所以它们构成你所需的基。而这同一个 y_2 = v y_1 的想法，若推到受迫方程上而非齐次方程上，恰恰就是乔装打扮的参数变易法：降阶法是它那位只需一个解的祖先。

三者之间如何取舍

这三者不是对手；它们是一棵决策树，一旦你看清结构，选择几乎是机械的。决定性的问题是：我是否已经握有完整的齐次基？驱动项有多乖？按顺序问下来，对的工具自己就报到了。

  1. 你两个齐次解都有吗？若只有一个——通常是因为系数变化、没有特征方程——先用降阶法造出第二个。现在你有了完整的基 y_1、y_2，可以往下走了。
  2. 驱动项 g(x) 是多项式、指数、正弦/余弦，或它们的乘积吗？若是，待定系数法最快——猜一份带未知系数的副本，若与齐次解相撞（共振）就乘 x，再匹配。完全不需要积分。
  3. 驱动项是别的什么吗——正切、正割、对数、分式？那就用参数变易法这个万能后备。它要花你两个由朗斯基行列式搭起的积分，但它从不要求驱动项乖巧，也从不会交不出那个公式。
  4. 最后，组装。把齐次解加回去：y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_p。直到此刻才套用初始条件去定死 C_1 和 C_2——套在完整的 y 上，绝不只套在 y_c 上。

退一步，留意这份统一。这里的每一种方法都是同一个手势——拿起你信得过的齐次解，让它们的常系数变成 x 的函数，把你已知的东西恰好弯折到能迎上驱动项。这单独一个想法，即齐次部分与特解部分的叠加，就是线性微分方程的全部架构，而且它毫无怨言地向上推广：同样的 y_c + y_p 分拆组织起高阶方程，统辖用矩阵指数求解的方程组，并在拉普拉斯变换把整个问题化成代数时再度现身。在这里把求 y_p 学透，你便掌握了受迫响应——在它将来出现的每一个地方。