在你求解任何东西之前要问的两个问题
本梯级前面的几篇教过你去解那些可解的：可分离方程、线性方程的积分因子，以及若干特殊技巧。但你这辈子写下的大多数一阶方程 dy/dx = f(x, y)，其解根本没有公式——能解出它们的那个积分是非初等的，或者方程本身就是货真价实的非线性，没有任何方法碰得了它。所以在你伸手去取技巧之前，还有两个更基本的问题值得诚实地回答。给定一个起点——一个初值问题，即方程 dy/dx = f(x, y) 配上一个条件 y(x0) = y0——过那一点的解曲线究竟存不存在？倘若存在，它是唯一的吗，还是可能有两条不同的曲线都过同一点、都服从同一条定律？参见初值问题。
这些不是迂腐的顾虑。唯一性正是让一个微分方程成为一条好用的自然定律的东西：若你知道一个系统此刻的状态，正是唯一的未来才让你能预测它。存在性则告诉你：在你浪费一个下午去搜寻公式之前，这个问题是否根本就是适定的。而那个令人意外的事实——本篇之所以存在、要讲得鲜活的事实——是：你能把这两个问题都了结，甚至画出整族解曲线，却根本不必找到任何一个解的公式。方程本身，只要读法对，就把那幅图景交到你手上。
斜率场：用眼睛求解
下面就是那个核心技巧，简单得几乎令人不好意思。方程 dy/dx = f(x, y) 是一份配方：在平面上的每一个点 (x, y)，它都告诉你，一条解曲线若过那点，必须具有的斜率。要读出这一点，你无需求解任何东西——只要把点代进去。于是走到一个点，算出 f(x, y)，就在那里画一小段带着这个斜率的线段。在一整片网格点上都这么做，你就得到一张方向场（也叫斜率场）：一片覆盖平面的、由许多倾斜小短划组成的草地，每一划都是一条局部指令，说着「一条从这里穿过的解，必须朝这个方向走去」。参见方向场。
现在是魔法时刻。一条解曲线无非就是这样一条曲线：在它经过的每一点，它都与坐落在那里的小短划相切——因为根据「解方程」这件事的定义，它的斜率 dy/dx 恰好就是 f(x, y)。这不过是卷一里那个想法——导数就是切线的斜率——反过来读：你不再从一条已知曲线算出斜率，而是培育一条曲线去匹配规定好的斜率。于是你真能用手描出一个解。把铅笔尖落在任一起点，看它底下的短划，朝那个方向滑一小步，再看新的短划，再滑——你扫出的那条光滑曲线，就是过那一点的解。不同的起点给出不同的曲线，它们合在一起，就用整族解填满了平面。
读一张真实的场：dy/dx = y
我们用文字造一张具体的场。取 dy/dx = y，指数增长的方程。任一点处的斜率就是高度 y 本身：在 x 轴上（y = 0）每一划都是平的，在轴上方很高处短划陡峭地朝上倾斜，在下方很低处陡峭地朝下倾斜，而整片场左右对称，因为 x 从不进入公式。从刚好在轴上方处起描一条曲线，它先轻轻地往上爬，接着变陡、冲向天际——它越爬，短划越陡，喂养着自身的增长。从刚好在轴下方处起描，它则以镜像之姿坠向负无穷。我们碰巧知道这里的答案是 y = C e^{x}，但请注意：在写下公式之前，你就能在场中看见那整个解族的全部形状。
这张场还揭示出公式可能藏起来的结构。沿 y = 0 那条平整的短划线本身就是一个解——那个恒等于零的常数解——而没有别的曲线会越过它，因为越过就会迫使相遇点处出现两个不同的斜率。那条分界线是一个平衡点，它把平面劈成上半个世界（曲线轰然上冲）与下半个世界（曲线坠然下落）。当 f 像这样只依赖于 y 时，方程被称为自治方程，它的场在每一条竖直窄带里看起来都一样；正是这种特殊结构，被下一篇讲相位线的内容所利用。眼下的教益很朴素：斜率场把平衡点、对称性，以及每个解的长期命运都摆给你看——全都直接从 f 读出，不需一次积分。
皮卡-林德勒夫：图景何时可信
跟着短划描出一个解，感觉万无一失——但它悄悄假定了恰好有一条曲线从你的起点冒出来。皮卡-林德勒夫定理（也叫皮卡存在唯一性定理）精确地说出这个假定何时是挣来的。干净的版本是：若 f(x, y) 在你起点 (x0, y0) 周围的一个方块里连续，并且 f 在 y 方向上变化得不太剧烈——术语上叫它关于 y 是利普希茨的，只要偏导数 partial f / partial y 在该点附近存在且保持有界，这一条就有保证——那么这个初值问题恰好有一个解，至少活在 x0 周围某个小区间上。存在与唯一，二者俱呈，全程不见一个公式。参见皮卡-林德勒夫定理。
为何对 partial f / partial y 的一个界能给你买来唯一性？诚实的答案，是一个藏在定理内部、能自我改进的美丽循环。把问题改写成积分：y(x) = y0 + the integral from x0 to x of f(t, y(t)) dt——解方程，就是当那个积分的一个不动点。现在从对 y 的一个粗糙猜测开始，把它喂进右边得到一个更好的猜测，再把它喂回去，如此反复。利普希茨条件恰恰是那个齿轮，让每一遍都把误差缩小，于是这些猜测向着唯一一条极限曲线逼拢。这个证明是一台你真能开动的机器，而它正是驱动数值求解器的那个同一个不动点思想。
Picard iteration for dy/dx = y, y(0) = 1 (so f = y): y_0(x) = 1 y_1(x) = 1 + integral_0^x y_0 dt = 1 + x y_2(x) = 1 + integral_0^x (1 + t) dt = 1 + x + x^2/2 y_3(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 ... y_n(x) -> 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ... = e^x (the unique solution) The iterates are exactly the partial sums of the Taylor series of e^x.
诚实的附属细则
这条定理很慷慨，但不是一张空白支票，而三条附属细则会让你保持诚实。第一条、也是最重要的一条：保证是局部的。它许诺在 x0 周围某个小区间上有唯一解，却对那个区间能伸多远只字不提。一个解可能在有限时间内爆向无穷、并就此不复存在——dy/dx = y^2 配 y(0) = 1，有那个再漂亮不过的解 y = 1/(1 - x)，它在 x 趋近 1 时狂奔向无穷，过了 x = 1 就根本没有解，尽管 f = y^2 光滑得不能再光滑。f 的光滑性买不来一个永久存续的解；它只买来一个能起步的解。
第二条：当利普希茨前提真正失效时，唯一性也可能真正失效——这不是一个你能挥手抹去的技术细节。经典的例子是 dy/dx = square root of |y| 配 y(0) = 0。这里 f 连续，所以解存在，但 partial f / partial y 在 y = 0 处爆掉，于是利普希茨条件恰恰在起点就破了。唯一性随之碎裂：常数 y = 0 是一个解，y = x^2/4 也是一个解，还有一整族无穷多个解——它们在轴上停留一阵，然后在你喜欢的任何时刻剥离而去。无穷多条解曲线从同一点离开。斜率场没法把这显示给你看——在 y = 0 处每一划都是平的、看上去人畜无害——而这正是你为何需要那条定理、而不只是那幅图的全部理由。
把两个想法合在一起
斜率场与存在唯一性定理，是同一份理解的两半，它们互相为对方背书。定理保证了：你穿过场所描出的曲线是真实的、单一的、定义良好的——在利普希茨条件成立处，恰有一个解穿过每一点，于是众多短划拼成一族干净的、互不相交的曲线，朝哪边走毫无歧义。而场使定理变得可见：解曲线永不相交，正是唯一性的几何面孔；而场在某点处晕开、曲线扇形散开，正是某个前提失效的几何面孔。一个给你严格，一个给你视力。
- 把方程写成 dy/dx = f(x, y)，并把 f 读作一道斜率指令：在平面的每一点，它都规定了过那里的解必须具有的斜率。
- 在你起点附近检验前提：f 在那里连续吗？partial f / partial y 有界吗？若是，皮卡-林德勒夫就在一个小区间上给你一个解——在局部相信那幅图。
- 借由等斜线勾出场（从 f = 0 入手），标出平衡点，再从你关心的起点出发、描出与短划相切的解曲线——那就是整族解，未用一个公式画就。
- 对界限保持诚实：保证是局部的（解可能在有限时间内爆掉），而在前提失效处（留意 partial f / partial y 爆掉的地方），要提防非唯一性或一个隐藏的奇解。
把这一点作为本梯级乃至下一梯级中一切内容的根基带向前去。大多数微分方程无法以封闭形式求解，然而你远非束手无策：斜率场把一个你永远写不出的解的形状、长期行为与平衡点都摆给你看，而皮卡-林德勒夫则诚实地、连同它的界限一并说清，告诉你那幅图何时配得上你的信任。下一篇会取自治这一情形，把整片二维的场压缩成单单一条线——相位线——好让你一眼读出每个解的命运。