JOVANA
Library Glossary Getting Started Three Levels Fields How it works Mission
Join the mission
All guides

可分离变量方程与全微分方程

两种最能直接积分的一阶形式：把变量拉到等号两边各自积分，或认出一个伪装起来的全微分——若它本不是，就乘上一个积分因子，把它变成全微分。

两类一眼就能积分的方程

上一篇里，你学会了把任意一阶方程 dy/dx = f(x, y) 读成一片斜率场——它在每一点都给你一个斜率，即使你解不出来，也能把解曲线画出来。这一篇要讲的，是那一小撮你*确实*能解、而且解得干净利落的方程。微分方程是未知函数与其导数之间的一个关系，所以解它归根结底就是积分，这一点并不意外。这两种方法的全部技巧，就在于把方程整理成一副「积分正盯着你看」的样子。

有两种形状最友好。第一种是可分离变量的：右边能拆成「只含 x 的部分」乘「只含 y 的部分」，于是每个变量都能被赶到等号的各自一侧。第二种是全微分（恰当）方程：整个方程其实是某个函数 F(x, y) 的全微分，所以它的解就是 F 的一族等值线。它们看起来毫不相干，其实是表亲——而一件工具，积分因子，有时能把一个顽固的方程变成其中任意一种。

分离变量：把变量各自赶回家

一个可分离变量方程形如 dy/dx = g(x) h(y)。做法是把 dy/dx 当作真正的微分之比——这个看似耍花招的步骤，其实由链式法则悄悄担保——再整理成 dy / h(y) = g(x) dx。这样所有带 y 的都在左边、所有带 x 的都在右边，于是你对两边各自独立积分。那唯一的积分常数（只写一次）就编码了整族解；要把它定死，需要一个初始条件。

看最著名的例子 dy/dx = k y——指数增长。分离成 dy/y = k dx，两边积分得 ln|y| = k x + C，再取指数得 y = A e^{k x}，其中 A = e^C 吸收了常数。瞧：一整族指数函数，每个起始值 A 对应一条曲线。请注意，正是分离变量*逼出*了指数——dy/y 的积分是对数，而解开对数恰好召唤出 e^{k x}。这条增长律不是假设来的；它是积分的必然结果。

全微分性：一个隐藏的二元函数

现在把一阶方程写成微分形式：M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0。巧妙的念头是问：这个左边，是不是某个函数 F(x, y) 的全微分？回忆多元微积分中，全微分是 dF = (partial F / partial x) dx + (partial F / partial y) dy。如果我们的 M 恰好就是 partial F / partial x、N 恰好就是 partial F / partial y，那么方程就只是说 dF = 0——而一个微分恒为零的函数必是常数。整个解就是 F(x, y) = C，一族等值线。无需分离变量。

可是在动手寻找 F 之前，你怎么知道这样一个 F 存在？这里有个优雅的判据。若 F 足够规整，它的二阶混合偏导数相等：把 M = partial F / partial x 对 y 求导、把 N = partial F / partial y 对 x 求导，必须得到同一个东西。所以方程是全微分（恰当）方程，当且仅当 partial M / partial y = partial N / partial x。这是一行计算——求两个偏导，看它们是否相等。一旦相等，F 必定存在（在任何单连通区域上），而恰当形式这个词正是抽象地命名了这一性质。

  1. 把方程写成 M dx + N dy = 0，并检验恰当性：确认 partial M / partial y 等于 partial N / partial x。若不相等，它（暂时）不是全微分方程。
  2. 对 x 积分 M 以还原 F，把 y 当常数看：F = M 对 x 的积分 + g(y)，其中未知的 g(y) 是这次积分的「常数」（它可以依赖 y）。
  3. 把这个 F 对 y 求导，并令其等于 N。这就定出了 g'(y)；再积分一次得到 g(y)，于是 F 到手。
  4. 写出隐式解 F(x, y) = C。一个初始条件定下那唯一的常数 C，从这族曲线里挑出其中一条等值线。

当它不恰当时：积分因子

大多数方程通不过恰当性检验——但通不过并不是终点。窍门是给整个方程乘上一个精心挑选的函数 mu(x, y)，即积分因子，使得*新*方程 mu M dx + mu N dy = 0 变得恰当，尽管旧方程并不恰当。你并没有改动解曲线——给两边乘一个非零因子，丝毫不动 M dx + N dy = 0 这个关系本身——你只是把方程重新包装成原函数能吞下的形状。

在完全一般的情形下找 mu 很难——它满足一个和你出发点一样棘手的偏微分方程。但有两个幸运的情形能救场，也正是值得记住的两个。若组合 (partial M / partial y - partial N / partial x) / N 只依赖 x，则 mu 只是 x 的函数，一次积分即可求出。若反过来 (partial N / partial x - partial M / partial y) / M 只依赖 y，则 mu 只依赖 y。无论哪种，你都把一个双变量的谜题化简成了一个单变量的积分。

Not exact:  M dx + N dy = 0   with   dM/dy  !=  dN/dx

Case 1:  (dM/dy - dN/dx) / N  depends on x only
            mu(x) = exp( integral of [(dM/dy - dN/dx)/N] dx )

Case 2:  (dN/dx - dM/dy) / M  depends on y only
            mu(y) = exp( integral of [(dN/dx - dM/dy)/M] dy )

Multiply through by mu  ->  now exact  ->  solve as F(x,y) = C
两种标准积分因子：每一种都把寻找 mu 化成一个普通积分。

为什么这些方法是表亲

这些想法并非三个各自为政的花招，而是同一个想法披着三件外衣。一个可分离方程 g(x) h(y) - dy/dx = 0，写成 g(x) dx - dy/h(y) = 0 时，自动就是恰当的——这正是你能对每一边各自积分的原因。而积分因子是通用的修复工具：正是同一个装置，在紧接着的下一篇里，驯服了线性一阶方程 dy/dx + P(x) y = Q(x)，那里的因子恰好是干净的 mu = e^{integral of P dx}。把分离、恰当、线性看成同一家族，正是让一阶理论显得融贯、而非一袋零散配方的关键。

恰当性还带来一份几何上的红利。因为解是一族等值线 F(x, y) = C，你立刻就知道一族伙伴曲线：与那些等值线处处直角相交的曲线，即正交轨线。把每个斜率换成它的负倒数，再解这个新方程，你就免费得到了等势线对应的场线——这正是热流与等温线之间、或电流与等压线之间的关系。于是一个 F(x, y) 一举承载了两族彼此咬合的曲线。