从两扇门到无穷多扇门
在第一卷里，单变量函数的极限恰好只有两扇门。要说 f(x) 当 x 趋于 a 时的极限等于 L，你只需检查左趋近与右趋近是否一致：从下方进来，从上方进来，若两者都落在 L 上，就完事了。整条实数轴对一个点只提供两侧。正是这种利落的记账，使得单侧极限几乎能了结第一年微积分里的一切。
现在把图景抬进平面。函数 f(x, y) 活在一张平铺的纸面上，而像 (0, 0) 这样的点不再被钉在两个邻居之间——它坐在整张圆盘的正中央。你可以沿 x 轴笔直走向它，或沿 y 轴，或沿任意斜线，或盘旋着沿一条曲线进来，或沿一条抛物线摇摆着进来。逼近的方式不是两种，而是无穷多种。[[limit-of-a-function-of-several-variables|多元函数的极限]]要求其中每一条逼近路径都给出同一个值 L。
严格地说，f(x, y) 当 (x, y) 趋于 (a, b) 时的极限为 L，是指：只要让点离 (a, b) 足够近，你就能迫使 f 停留在 L 的任意容差之内。衡量「近」的天然尺子是距离 sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2)。这与从前一样是那个epsilon-delta 承诺——对每个 epsilon 都有一个 delta——只不过「足够近」如今指落在一个小圆盘内，而非一个小区间内。无论点以何种方式进入这圆盘，承诺都必须成立。
意外：直线都一致，极限却仍不存在
这里有一个每个人都会上一次当的陷阱。考虑原点附近的 f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)。沿 x 轴走进来（令 y = 0），函数一路都是 0 / x^2 = 0——沿这条路的极限是 0。沿 y 轴走进来（令 x = 0），又得到 0。试任意一条直线 y = mx，你也许又指望得到 0。那么极限等于 0 吗？很想说是——但这是错的。
把 y = mx 代入公式。分子 xy = m x^2；分母 x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2)。x^2 约掉，剩下 m / (1 + m^2)——一个依赖于斜率的常数。沿 y = x（斜率 m = 1）逼近，f 一路都停在 1/2。沿 x 轴（斜率 0）逼近，f 一路都停在 0。两条不同的直路，两个不同的终点。因为答案随方向而变，原点处的二元极限根本不存在。这正是[[path-dependence-of-limits|路径依赖]]的核心。
证明极限确实存在
如果试路径只能推翻极限，那要怎样证明极限存在？你要一次性地把整个函数夹住，完全不提方向。最干净的工具是多元夹逼定理：把 |f(x, y) - L| 夹在 0 与某个你能证明随距离 r = sqrt(x^2 + y^2) 趋于 0 而趋于 0 的量之间。若这个上界只依赖于 r 且趋于 0，那么每条路径都被同时夹向 L，因为每条路径都使 r 趋于 0。
看它在 h(x, y) = x^2 y / (x^2 + y^2) 上如何奏效，这函数看着险些就是那个失败的函数。因为 x^2 永不大于 x^2 + y^2，分式 x^2 / (x^2 + y^2) 至多为 1。于是 |h| = |y| 乘以这分式，至多为 |y|。而 |y| 至多为 r，即到原点的距离。因此 0 <= |h(x, y)| <= r，当 r 趋于 0 时，夹逼把 h 逼向 0。全程未提任何方向，所以沿每条路径极限都是 0。这个函数在原点真正连续；上一节那个近乎孪生的函数则不然。
第二个技巧是改用极坐标：写 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)。如今 (x, y) 趋于原点恰好就是 r 趋于 0，而 theta 可任取——theta 携带了方向信息。代入后，若表达式坍缩成被 r 的某次幂所界、且 theta 的依赖被困在 cos(theta)、sin(theta) 这类有界因子里的东西，则极限存在，等于 r 趋于 0 那部分给出的值。反之，若 theta 拒绝消去——若 r 约掉后答案仍依赖 theta——你就当场暴露了路径依赖，极限不存在。
如今连续意味着什么
理解了极限，[[continuity-of-several-variables|多元函数的连续]]读起来就和单变量时一模一样，只是换上了新型的极限。函数 f 在 (a, b) 处连续，要三件事对齐：f 在 (a, b) 处确有定义；f 当 (x, y) 趋于 (a, b) 时的极限存在；且这极限等于函数值 f(a, b)。没有突兀的跳跃，没有能掉进去的洞——曲面从每个方向同时平滑地与自身的值相接。
好消息是，这一群失败几乎全都聚集在分母为零的少数特殊点上。其余处处，连续的寻常代数原封不动地搬过来：连续函数的和、积、商（避开分母为零处）以及复合都连续。x 与 y 的多项式在整个平面上连续；sin(x + y)、e^{xy}、sqrt(1 + x^2 + y^2) 在各自有定义处都连续。你只需在那些孤立的麻烦点放慢、用力思考——通常是分式读作 0/0 的地方。
f continuous at (a,b) requires all three: 1. f(a,b) is defined 2. lim (x,y)->(a,b) f(x,y) exists <- the hard one: EVERY path 3. the limit = f(a,b) repair a 0/0 hole? define f(a,b) := the limit, IF the limit exists
为何这关乎之后的一切
这不是趣闻——它是整个台阶的基岩。回想第一卷：偏导数在冻结其余变量的同时取极限，所以它永远只感知无穷多方向中的两个：沿 x 与沿 y。这正是为何偏导数可以在某点存在，而函数在那里甚至不连续。病态的 xy/(x^2 + y^2) 在原点两个偏导数都等于 0，可它在那里根本没有极限。单凭偏导数，是个软弱的、被坐标轴束缚的探针。
下一篇修补的正是这道缺口。真正的[[differentiability-several-variables|多元可微]]是个强得多、不挑方向的条件：它要求单单一张平面从每个方向同时把曲面逼近得很好，误差比距离 r 衰减得更快。连续是这强条件所立足的地板——在某点可微的函数在那里自动连续，反过来绝不成立。在这里把「每一条路径」的直觉刻进骨子里，之后各篇里的全导数、雅可比矩阵和完整链式法则，就会像自然的下一步，而非新的谜团。