重积分究竟是为何而设
整整四篇导引里，你一直在学二重积分及其三维兄弟的机理——如何把一块区域切成一层层的累次积分、如何调换积分次序、如何用雅可比行列式弯折坐标网格、如何在问题呈圆形时祭出极坐标或球坐标。这一整套机器存在的目的，只为做一件朴素的事：把一个铺展在区域上的量累加起来。在第一卷里，定积分累加的是铺在一条线上的量；重积分不过是把同样的事搬到一块面积或一个体积上去做。这篇导引，正是这些记账功夫终于结出物理红利之处。
本篇一切都从下面这个唯一的想法流淌而出。设想一块占据平面区域 R 的薄金属板，未必均匀——它的密度 rho(x, y)（单位面积的质量）可以随处变化，这里厚、那里薄。把板子剁成一片片小瓷砖。坐落在点 (x, y) 附近、面积为 dA 的一片，承载着微小的质量 dm = rho(x, y) dA——密度乘以那一丁点面积，正如均匀小块的质量等于密度乘面积，只是就地施用。本篇里的每一个物理量，都是给每片瓷砖的质量 dm 挂上某个权重、再对所有瓷砖求和而造出来的。对所有瓷砖求和，恰恰正是重积分所做的事，于是每个量都不过是一个（某物）乘以 rho dA 的积分。
总质量，以及那个平衡点
从最简单的加权方式起步：给每片瓷砖都赋权重 1。把每个 dm 累加起来，得到总质量 M = 区域 R 上 rho(x, y) dA 的二重积分。若板子均匀，rho 是个可以提到积分外的常数，于是 M = rho 乘以（R 的面积）——质量确实就是密度乘面积，正如你所料；唯有当 rho 变化时，积分才真正派上用场。这是热身，也是你该先跑一遍的稳健性检验：如果你连区域 R 上的质量积分都列不出来，那你还没准备好列那些更难的，因为它们全都在同一个 R 上、用同一个 dA 来积分。
现在按位置给每片瓷砖的质量加权。[[calc-center-of-mass|质心]]是这块板子搁在一根针上恰好平衡的那个唯一的点——以质量为权的平均位置。它的 x 坐标是 x-bar = (1/M) 乘以区域 R 上 x rho dA 的二重积分，同样地 y-bar = (1/M) 乘以 y rho dA 的积分。把公式当它本来的样子来读：每片瓷砖都为自己的 x 位置投票，但重的瓷砖那一票分量更大（它带着更多的 dm），而除以 M 则把这场点票归一化成一个诚实的平均。分子里那个量，即 x rho dA 的积分，甚至自有其名——质量关于 y 轴的一阶矩——因为位置出现在一次幂上。
转动惯量：平方改变了一切
质量量度的是把一个物体沿直线推动有多难。[[moment-of-inertia|转动惯量]]量度的则是让它绕一根轴旋转有多难——它是旋转版的质量，是旋转定律「力矩等于 I 乘以角加速度」里那个 I，与「力等于质量乘加速度」一模一样的孪生兄弟。关键的新成分在于：它不仅取决于有多少质量，更取决于那些质量相对于轴坐落在何处。对距轴 d 远的单个质点 m，转动惯量是 m d^2：质量乘以其距离的平方。要得到整个物体，就给每片瓷砖的质量按其到轴距离的平方加权，再积分。
具体说来，对我们这块板，到 x 轴的距离就是 y，所以关于 x 轴的转动惯量是 I_x = 区域 R 上 y^2 rho dA 的二重积分。关于 y 轴时距离是 x，给出 I_y = x^2 rho dA 的积分。而关于原点的极矩——抵抗绕穿过原点的竖直轴旋转的能力——用的是到那根轴的距离平方 x^2 + y^2，于是 I_0 = (x^2 + y^2) rho dA 的积分 = I_x + I_y。因为距离以平方进入，这也叫质量的二阶矩，与构筑质心的那些一阶矩刻意相对。那个平方不是细节，而是这个量的全部性格。离轴远一倍的质量，对转动惯量的贡献是四倍，所以远处的质量彻底地占据主导。
这一个事实——远处的质量按平方加权——解释了一衣橱的日常物理。花样滑冰运动员一收臂便旋转得更快，因为把质量挪近轴会缩小 I，而在角动量守恒下，更小的 I 意味着更大的转速。一个用来储存旋转能量的飞轮，造得轮缘沉重，因为在那里每一千克都换来最多的 I。而极矩 I_0 = (x^2 + y^2) rho dA 的积分，恰恰正是那个央求着极坐标的被积式：x^2 + y^2 坍缩成 r^2，而你马上就会看到这同一种坍缩施展出真正的魔法。
高斯积分，被极坐标撬开
现在来领赏。[[gaussian-integral|高斯积分]]是钟形曲线下的总面积，即整条实轴上 e^{-x^2} dx 的积分，它等于那个既奇异又干净的数 sqrt(pi)。奇异，是因为 e^{-x^2} 没有初等原函数——在初等函数里，写不出到某个有限点为止的面积的公式，正因如此才不得不发明误差函数 erf 来给那部分面积命名。（把这个词说精确些：「非初等」指的是没有初等的封闭形式，*并非*说这积分不可计算——它是一个完全确定的、有限的数，你能算到任意精度。）然而一路到无穷远的面积，却是这无瑕的 sqrt(pi)。当没有一个部分和是干净的时，总和怎么会洁净？谜底是数学中最美的技巧之一，而它是一个乔装的重积分。
把答案记作 I，于是 I = 整条实轴上 e^{-x^2} dx 的积分。这个一维积分负隅顽抗，那就把它平方——而平方正是那扇打开门户的钥匙，因为两个一维积分之积就是一个二重积分。在第二个副本里用哑变量 y，I^2 = (e^{-x^2} dx 的积分) 乘以 (e^{-y^2} dy 的积分) = 整个平面上 e^{-x^2} e^{-y^2} dA 的二重积分 = 平面上 e^{-(x^2 + y^2)} dA 的二重积分。我们把一个棘手的一维积分升格成了一个遍及整个平面的二维积分——这听上去更糟，直到你留意被积式只依赖于 x^2 + y^2，即到原点的距离平方。那正是一个暗地里呈圆形的问题的标志，而圆形的问题正是极坐标为之而生的。继而换元到极坐标，白白从面积元里供来一个额外的 r 因子——而正是这个因子，恰是你用寻常的 u = r^2 代换去积 e^{-r^2} 时所需要的那块导数形状的零件。几何把代数递到你手上：径向积分坍缩为 1/2，角向扫过贡献出一个整 2 pi，于是 I^2 = pi，故 I = sqrt(pi)。再取一半（钟形曲线对称），便得到你将永远引用的那个形式：从 0 到无穷的 e^{-x^2} dx 的积分 = sqrt(pi)/2。
I = integral_{-inf}^{inf} e^{-x^2} dx ( the goal )
Square it and pair the two copies into one double integral:
I^2 = ( int e^{-x^2} dx )( int e^{-y^2} dy )
= int int_{plane} e^{-(x^2 + y^2)} dA
Switch to polar: x^2 + y^2 = r^2, dA = r dr dtheta
^^^^^^^^^ the Jacobian factor
I^2 = int_{0}^{2pi} int_{0}^{inf} e^{-r^2} . r dr dtheta
The stray r is exactly what makes the radial part elementary.
Let u = r^2, du = 2r dr :
int_{0}^{inf} e^{-r^2} r dr = (1/2) int_{0}^{inf} e^{-u} du = 1/2
I^2 = int_{0}^{2pi} (1/2) dtheta = (1/2)(2pi) = pi
==> I = sqrt(pi) and int_{0}^{inf} e^{-x^2} dx = sqrt(pi)/2万用一方
请注意，质量、质心和转动惯量并非三项各自独立的本领——它们是一项本领配上三种不同权重的施用。每一个都是区域 R 上（权重）乘以 rho dA 的积分：权重 1 给出质量；权重 x 或 y 给出一阶矩，再除以 M 便给出质心的一个坐标；权重（到轴的距离）^2 给出一个转动惯量。难处从不在物理公式；它永远在于刻画区域 R、并选取让积分变得宜人的坐标——正是你在本级前几篇导引里练就的那些肌肉。所以这套步骤很短，而且每次都一样。
- 画出区域 R，并选取贴合其形状的坐标——矩形与图像用直角坐标，圆盘与楔形用极坐标，圆形立体用球坐标或柱坐标。这一个抉择，决定了积分是友善还是凶猛。
- 为那套坐标写下正确的面积元或体积元——dx dy，或极坐标里的 r dr dtheta，或球坐标里的 rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta——并永远别忘了这个雅可比因子；它是最常见的无声错误。
- 先算出总质量 M = 区域 R 上 rho dA 的积分。你将把它当作质心的分母重复使用，而算它是为后面更难的积分所做的一次低风险彩排。
- 挂上你所需的权重——求一阶矩用 x 或 y（随后除以 M），求转动惯量用（到轴的距离）^2——再在那同一个 R 上、用那同一个元来积分。同一区域、同一 dA、不同权重：这就是全部的把戏。
至此，这一级也就收束了。你进来时，会算矩形上的一个累次积分；你离开时，已能刻画一块弯曲的区域、用雅可比为它换坐标，并读出一个物理物体的质量、平衡点与旋转的倔强——并且，作为犒赏，能徒手算出那个锚定整个概率与统计的积分。那个曾在换元中为面积重新标度的 r dr dtheta，到头来竟是高斯积分背后的隐秘主角。接下来，在向量微积分里，这些同样的区域将长出第三个维度和一种方向感：我们将不再只积区域上的密度，而要积穿过曲面的流量，而格林、斯托克斯与高斯的伟大定理，将像微积分基本定理当年把端点系于一条线那样，把边界系于内部。