极坐标、柱坐标与球坐标

为何你拿到的网格是错的网格

上一篇给了你那把万能钥匙：换元定理，连同它那枚度量坐标映射把面积拉伸了多少的雅可比行列式。本篇就把这把钥匙用在你将一次次伸手去取的三种变量替换上。理由既简单又有物理味。笛卡尔坐标把平面切成一个个小方块，方块拿来描述矩形妙极了。但世界满是圆盘、柱体和球体，而方格网去贴合圆形区域，就像方格纸去贴一只餐盘——糟糕透顶，边缘处处参差。

试着在笛卡尔坐标下列出某个量在单位圆盘上的积分，你立刻就感到疼。积分区域逼着内层上下限是 y 从 -sqrt(1 - x^2) 跑到 +sqrt(1 - x^2)。这些弯曲的限随后纠缠每一步，而像 x^2 + y^2 这样无辜的因子一路与你为敌。区域的几何与被积函数的代数都在尖叫：你给一个圆形问题带错了尺子。

解法是换一张与对称性相配的网格。若一个区域由圆与射线搭成，就用一个半径和一个角度来描述它的点，而非两段距离。若一个立体绕某条轴旋转对称，用柱坐标；若它绕某个点对称，用球坐标。在对的坐标里，弯曲的边界变成一堵平直的墙——「半径等于 1」是单单一个数，而非一条抛物线——积分区域在新变量里重新化作齐整的矩形。本篇的全部艺术，就是让坐标系与问题的形状相配。

极坐标与著名的 r dr dtheta

在[[polar-coordinates|极坐标]]里，平面上一点用它到原点的距离 r 与它的射线和正 x 轴所成的角 theta 来命名。回到笛卡尔的字典是 x = r cos(theta)、y = r sin(theta)，反过来是 r = sqrt(x^2 + y^2)、theta 为 (x, y) 的辐角。好处立竿见影：可怕的组合 x^2 + y^2 坍缩成单单一个干净的 r^2，而单位圆盘不过是矩形 0 <= r <= 1、0 <= theta <= 2 pi。圆形区域成了一只盒子。

但这里有个绊倒每个初学者的陷阱：你不能直接写 dx dy = dr dtheta。那是谎言，图景会告诉你为何。设想 r 增加微小的 dr、theta 增加微小的 dtheta 时扫出的小块。它有两条边是径向的，长 dr，另两条却是圆弧。在半径 r 处张开角 dtheta 的弧，弧长是 r dtheta——外圈临边弧长，近心处短弧。于是这小块大致是一个边长为 dr 与 r dtheta 的矩形，面积就是二者之积：dA = r dr dtheta。那个多出来的因子 r 就是全部故事，且绝非偶然——它恰是极坐标映射的雅可比行列式。

你可以直接硬算雅可比来确认。偏导数矩阵是 [partial x / partial r, partial x / partial theta; partial y / partial r, partial y / partial theta] = [cos(theta), -r sin(theta); sin(theta), r cos(theta)]。它的行列式是 r cos^2(theta) + r sin^2(theta) = r。关于弧的挥手论证与行列式冷冰冰的代数完全一致，本就该如此。现在看那个曾是笛卡尔噩梦的单位圆盘积分如何融化：把 1 在圆盘上积分，化为在 0 <= theta <= 2 pi 与 0 <= r <= 1 上对 r dr dtheta 积分，结果是 2 pi 乘以 (1/2) = pi——单位圆盘的面积，从两个平凡的单重积分里掉了出来。

柱坐标：极坐标外加一个高度

迈进三维，最省事也最有用的念头是保留一根笛卡尔轴不动，把另外两根变成极坐标。那就是[[cylindrical-coordinates|柱坐标]]：x = r cos(theta)、y = r sin(theta)、z = z。你用一点离 z 轴有多远（r）、绕到哪个方向（theta）、有多高（z）来描述它的位置。它是一切绕竖直轴旋转对称之物的天然语言——一只罐头、一根管子、一场龙卷风、一根旋转的轴——因为这样的立体不过是平面图里的一块极坐标区域，笔直往上复制到某个高度。

由于 z 方向原封未动，体积元不过是极坐标面积元披上一层 dz。这只小盒子的底面积是 r dr dtheta，高是 dz，体积便是 dV = r dr dtheta dz。没有新东西要背——就是极坐标的 r dr dtheta 叠上一个高度。若你硬算完整的 3 乘 3 雅可比行列式，又恰好得到 r，因为 z 行与 z 列贡献一个干净的因子 1，把平面那块 2 乘 2 留出来交出它的 r。弧长直觉与行列式再次握手。

设想求一个半径 a、高 h 的圆柱的体积。在柱坐标下它就是盒子 0 <= r <= a、0 <= theta <= 2 pi、0 <= z <= h，r dr dtheta dz 在其上的积分拆成三个互相独立的单重积分：(a^2 / 2) 乘 2 pi 乘 h，即 pi a^2 h。每条边界都是常数；弯曲的侧壁「r = a」是单单一个数；上下限里全无弯曲。这正是坐标系配得好的标志——在笛卡尔里费劲的几何，已被完全吸收进变量的名字里。

球坐标与 rho^2 sin(phi) 因子

当一个问题绕一个点而非一条轴对称时——一个球、一颗行星的引力、一个原子的轨道、任何朝各方向均匀辐射之物——就伸手去取[[spherical-coordinates|球坐标]]。这里一点用 rho 命名，即它到原点的直线距离；phi，从正 z 轴向下量的极角（北极处为 0，南极处为 pi）；以及 theta，仍是之前那个绕 z 轴的方位角。字典是 x = rho sin(phi) cos(theta)、y = rho sin(phi) sin(theta)、z = rho cos(phi)。半径 a 的实心球不过是盒子 0 <= rho <= a、0 <= phi <= pi、0 <= theta <= 2 pi。

体积元看着更吓人，但它的三块各自都好看清。把 rho 增加 drho，你沿径向移动距离 drho。把 phi 增加 dphi，你沿半径 rho 处的一段大圆弧摆动，扫过长度 rho dphi。把 theta 增加 dtheta，你绕一个纬圈摆动——这里是微妙之处——其半径不是 rho 而是 rho sin(phi)，因为纬圈在趋近两极时缩小。那段弧长为 rho sin(phi) dtheta。把这三条近乎互相垂直的边相乘，就得到 dV = rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta。

这些边长 drho、rho dphi、rho sin(phi) dtheta，恰是术语[[scale-factors|拉梅系数（标度因子）]]所命名的东西：每个坐标的变化与你实际走过距离之间的换算率。在任何正交系里，体积元就是诸标度因子之积，所以极坐标给出 1 乘 r，柱坐标给出 1 乘 r 乘 1，球坐标给出 1 乘 rho 乘 rho sin(phi) = rho^2 sin(phi)。球坐标映射完整的 3 乘 3 雅可比行列式精确确认了这一点：尘埃落定后它等于 rho^2 sin(phi)，对 0 与 pi 之间的 phi 为正，正如几何所许诺。

AREA / VOLUME ELEMENTS  (each = product of the scale factors)

  polar        dA = r dr dtheta                  scale factors: 1, r
  cylindrical  dV = r dr dtheta dz               scale factors: 1, r, 1
  spherical    dV = rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta
                                                 scale factors: 1, rho, rho sin(phi)

Volume of a ball of radius a:
  integral over  0<=rho<=a, 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi  of  rho^2 sin(phi)
      = (a^3/3) * [-cos(phi)]_0^pi * (2pi)
      = (a^3/3) * (2)        * (2pi)   =  (4/3) pi a^3      <- as it must be

三个主力面积/体积元并排——每个都不过是该系标度因子之积——以及从球坐标那个里掉出来的球体积。

选对坐标系，以及那些小字条款

先读区域的对称性，而非被积函数。平面上的圆盘，或任何由圆与射线围成之物：用极坐标。绕单一轴旋转对称的立体（圆柱、圆锥、抛物面、钻穿球的孔）：用柱坐标。绕单一点对称的立体（球、球壳、甜筒形区域）：用球坐标。
再查被积函数作为第二意见。含 x^2 + y^2 的因子在呼唤极坐标或柱坐标（它会变成 r^2）；含 x^2 + y^2 + z^2 的因子在呼唤球坐标（它会变成 rho^2）。若区域说一套、被积函数说另一套，通常区域取胜，但一个干净的被积函数能在两可之间一锤定音。
把边界改写成新变量里的常数上下限，绝不忘记附上面积元或体积元，然后才从内到外积分。如今那个元就是被积函数的一部分——漏掉 r 或 rho^2 sin(phi)，是整门学问里最常见的唯一错误。

还有一条值得直说的告诫：记号在各领域并不统一，它会在某本教科书或某篇物理论文里绊你。许多文献互换 theta 与 phi 的角色，或用 r 表示我们用 rho 的球面距离，或把极角从赤道向上量而非从极点向下量。数学完全相同；只是标签在挪动。每打开一份新文献，就找到它的图，钉死哪个字母是半径、哪个角从何处量起，若有任何疑虑，就从标度因子重新推导体积元。几何从不说谎，哪怕两本书在字母表上各执一词。

这通向何处

你如今握有在物理与工程中担起大部分重活的三种坐标系，连同那条让每一种都可信赖的事实：面积元或体积元是该系标度因子之积，等于映射的雅可比行列式。这条原理是普遍的——当你为热方程与波方程取曲线坐标系下的拉普拉斯算子时，它会再次现身，那里正是同一批标度因子决定算子的形状。你在积分上学到的模式，回过头来统辖导数。

更紧接着，下一篇把这些元兑现成真实的物理量。一旦你能在圆形物体上干净地积分，你就能称它的重：把密度作二重或三重积分给出总质量，再把加权位置积分除以这质量，就给出质心。同一套机器，插入一个距离平方的因子，便产出统辖物体抗旋转能力的转动惯量。你刚学会要敬重的那个因子 r 或 rho^2 sin(phi)，正是让上述每一个物理数字算对的关键。