从一排条形到一片柱子
回想第一卷中定积分是怎么搭起来的。你把区间 [a, b] 切成宽为 dx 的小片，把每片宽度乘上那里的高度 f(x)，再把这些细长方形加起来。那个和，一个黎曼和，随着切片变细而逼近精确答案——曲线下的有向面积。二重积分的一切都是同一个直觉，被抬高了一维：你不再沿一条线把条形相加，而是把立在平面一块地皮上的一根根小柱子相加。
把函数 z = f(x, y) 想象成一片地貌——一张漂浮在 xy 平面某区域 R 上方的弯曲曲面。要求出这曲面与地面之间夹住的体积，把 R 切成一格格小长方形，每格面积为 dA = dx dy。在其中一个长方形上，曲面在某高度 f(x*, y*) 处近乎平坦，于是立在它上面的柱子体积约为 f(x*, y*) dA。把每根柱子加起来，便得到一个随网格变密而改善的数。这个和的极限就是[[double-integral|二重积分]]，记作 f(x, y) 在 R 上的二重积分对 dA 求和。
严格地说，你取这些黎曼和在最大格子直径趋于 0 时的极限：二重积分就是对 i 求和 f(x_i*, y_i*) 乘以 dA_i 的极限。当这极限存在、且无论你怎样切网格、在每格里何处取样都给出同一个值时，就称 f 在 R 上可积。有界且合理区域上的连续函数总是合格的，所以接下来的实际问题你几乎不必担心——但积分的值是由这个求和取极限定义的，而不是由任何公式。体积只是头一种解释；同一台机器之后还会把质量、电荷或概率加起来。
富比尼定理：一道难和，一次切一片
这定义很美，却无法用来计算——没人会徒手把无穷多根缩小的柱子加起来。出路是[[fubinis-theorem-computational|富比尼定理]]，它说二重积分可以化成一个累次积分来求：两个普通的单重积分一个套一个，而你早已会做每一个。图景就是用平行的切口去切这个立体。固定 y；那里的横截面是一片薄板，其面积是 f(x, y) 对 x 的单重积分。这面积只是 y 的函数 A(y)。然后让 y 扫过其范围并对 A(y) 积分——你就把这些薄板加成了完整体积。
在一个普通矩形 a <= x <= b、c <= y <= d 上，富比尼定理写作：二重积分等于从 c 到 d 对 [ 从 a 到 b 对 f(x, y) 关于 x 的积分 ] 关于 y 的积分。内层积分把 y 当作冻结的常数——恰是反过来运行的偏导数的精神——产生一个 y 的函数；外层积分随即收尾。具体地，x*y 在单位正方形上的二重积分：内层对 x 从 0 到 1 积分 x*y dx 得 y/2；外层对 y 从 0 到 1 积分 y/2 dy 得 1/4。一道真正二维的求和，被拆成了两道一维的。
当区域不是方盒
实际问题很少递给你一个利落的矩形。区域可能是三角形、圆盘，或两条曲线之间夹出的面积。补救之道是让内层的上下限依赖外层变量。设你先对 y 积分，[[region-of-integration|积分区域]]从下边界曲线 y = g(x) 升到上边界曲线 y = h(x)，而 x 取遍 [a, b]。那么累次积分成为从 a 到 b 对 [ 从 g(x) 到 h(x) 对 f(x, y) 关于 y 的积分 ] 关于 x 的积分。外层的上下限永远是纯常数；内层的上下限可以是描述区域移动边墙的函数。
试试顶点为 (0, 0)、(1, 0)、(1, 1) 的三角形——即 0 <= y <= x 且 x 从 0 到 1 的区域。在那里对 f = 1 积分，你应当还原出三角形的面积 1/2。内层从 0 到 x 对 1 关于 y 积分得 x；外层从 0 到 1 对 x dx 积分得 1/2。内层上限 x 不是笔误——它是把三角形的斜边 y = x 写进了记账里。这也是计算你在第一卷遇到的两曲线之间面积最干净的办法：它不过是 1 在所围区域上的二重积分。
由于同一区域可有两种描述——先扫 y，或先扫 x——你往往能交换[[order-of-integration|积分次序]]，而其中一种次序常常远比另一种容易。交换不是机械地给上下限改个名：你必须重画区域，再从另一根轴读出它的界。一个著名的回报是从 0 到 1 对 x 积分 [ 从 x 到 1 对 y 积分 e^{y^2} dy ]。内层积分没有初等原函数，把你卡得死死的。颠倒次序——同一三角区域，如今 0 <= x <= y、0 <= y <= 1——内层对 x 积分 e^{y^2} dx 变成 y 乘 e^{y^2}，它瞬间积出 (e - 1)/2。同一区域，同一答案，难度天差地别。
Same triangle {0<=x<=y, 0<=y<=1} = {x<=y<=1, 0<=x<=1}, two readings:
inner dy, outer dx inner dx, outer dy
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int_{x=0}^{1} int_{y=x}^{1} ... int_{y=0}^{1} int_{x=0}^{y} ...
outer limits: constants 0,1 outer limits: constants 0,1
inner limits: y from x to 1 inner limits: x from 0 to y
RULE: outer limits are ALWAYS constants; only inner limits may carry
the other variable. To swap: redraw R, re-read the bounds.叠加到三重积分
登上三维时，精神上没有任何新东西。[[triple-integral|三重积分]]把空间中的立体区域 E 切成体积为 dV = dx dy dz 的小盒子，用盒子内 f(x, y, z) 的值给每个盒子加权，再求和。它仍是黎曼和的极限，只是如今在三维网格上。诚实的心象：你不再是测量曲面下的体积——要那个，就对常数 1 积分，它把 dV 加成立体的纯体积。当 f 非常数时，你在对铺满立体的密度求和，自然的解读是总量，而非体积。
富比尼定理干净地延伸：三重积分展开成三个嵌套的单重积分。规矩相同，只是深了一层——最内层的上下限可依赖两个外层变量，中层的上下限可依赖最外那一个变量，而最外层的上下限必须是光秃秃的常数。对盒状区域，每个上下限都是常数，你按任意喜欢的次序依次对 z、y、x 积分即可。对弯曲的立体，你把它描述成「z 从一张底面跑到一张顶面，覆盖 xy 平面上的一片影子区域 R」，先做 z 积分，剩下的恰好是影子 R 上的一个二重积分——把新问题坍回到你刚学会的那个。
- 画出立体 E 并选一个次序，比如先 dz、再 dy、再 dx。这草图不是可选项——几乎每个错误答案都源于画错了区域，而非搞砸了原函数。
- 找最内层的上下限：对固定的 (x, y)，z 在何处进入、又在何处离开立体？这给出底面与顶面 z = z_low(x, y) 与 z = z_high(x, y)。
- 把立体向下投影到 xy 平面得到它的影子 R，再像对 R 做二重积分那样，恰好定下中层与外层的上下限。
- 由内向外积分——先 z，再 y，再 x——在每一步把所有尚未积分的变量当作常数，正如反过来做偏导数。
为何这是整个台阶的引擎
退一步，看看你如今真正握有什么。多重积分是唯一诚实地把一个量在面积或体积上加起来的方式，而富比尼定理把这种加法化成第一卷的单重积分，使其可计算。换上不同的被积函数，同一套机器便读出不同的物理真相：对密度 rho(x, y, z) 积分得到总质量，对以密度加权的 x 积分求出质心坐标，对到某轴距离的平方积分得到转动惯量。积分本身不变；改变的只是你对被积函数讲的故事。
还剩一道大缺口，而这台阶其余部分正是为弥合它而建。至此每个区域都用笔直的 x-y-z 板片来描述，这对任何圆的东西都很痛苦：圆盘、圆柱、球都与矩形网格作对。接下来的几篇引入极坐标、柱坐标和球坐标，那里一个圆不过是「r = 常数」。然而在积分里换坐标并非免费——面积和体积在新尺子下会伸缩，一个叫雅可比行列式的修正因子必须随行，好让 dA 与 dV 保持诚实。在这里把朴素的 x-y-z 套路练熟，那次换元就会是一次干净的升级，而非一跃入雾。