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三角函数的幂与乘积；魏尔斯特拉斯换元

一套可靠的方法，专门对付正弦、余弦、正割、正切的任意幂次与乘积——再加上一招万能换元，把任何关于 sin 与 cos 的有理函数都化成普通的代数运算。

为什么三角积分需要自己的一套工具

上一份指南用三角换元去掉了像 sqrt(a^2 - x^2) 这样的根号。这一份正好是它的镜像：现在你手里已经是正弦和余弦，目标是把它们积出来。像「integral of sin^4(x) cos^2(x) dx」这样的积分看上去人畜无害，但盲目地做换元积分会卡住——sin 的导数是 cos，于是余弦和正弦纠缠在一起，谁也消不掉。解决之道不靠灵机一动，而靠分类记账：一小套三角幂的固定套路，几乎能覆盖所有情形。

几乎所有的活儿都由两组恒等式包办。毕达哥拉斯恒等式 sin^2 + cos^2 = 1（以及它的近亲 1 + tan^2 = sec^2、1 + cot^2 = csc^2）让你在不同函数之间互相转换；而倍角／降幂恒等式 cos^2(x) = (1 + cos 2x)/2 和 sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2 则让你用一个关于 2x 的低次表达式去换掉一个平方。该在什么时候、抓哪一个恒等式来用，正是全部的本领所在——而这取决于你的指数是奇数还是偶数。

正弦与余弦的幂：奇数好办，偶数要降幂

对于「integral of sin^m(x) cos^n(x) dx」，先看 m 和 n 的奇偶。只要有一个指数是奇数，你立刻就赢了：从那个奇次函数里拆出一个因子去当 dx 的搭档，再用 sin^2 + cos^2 = 1 把剩下的偶次幂改写成另一个函数。比如「integral of sin^5(x) cos^2(x) dx」，把 sin^5 = sin^4 * sin = (1 - cos^2 x)^2 * sin x；接着令 u = cos x、du = -sin x dx，你要积的就是一个关于 u 的普通多项式——正是你在第一卷学过的那个换元，这次终于有了明确的目标。

如果两个指数都是偶数，就没有哪个因子能变成 du，于是改为「往下降幂」。用降幂恒等式把每个偶次幂减半，再统统乘开，你就得到一串关于 2x、4x…… 的余弦之和——每一项都能一行积出来。「integral of sin^2 x dx」就变成「integral of (1 - cos 2x)/2 dx = x/2 - sin(2x)/4 + C」。更高的偶次幂只不过是把减半再做几次；过程繁琐，但从不困难。

正割与正切：另一种配对

正切—正割这一族遵循类似的规则，立足于两个事实：tan x 的导数是 sec^2 x，而 sec x 的导数是 sec x tan x。所以对于「integral of tan^m(x) sec^n(x) dx」，若 sec 的幂为偶数（n 为偶且 n >= 2），就拆出 sec^2 x 当 du 搭档，其余部分用 sec^2 = 1 + tan^2 转换，再令 u = tan x。若 tan 为奇次幂且至少带一个 sec，就拆出 sec x tan x，把剩下的偶次 tan 转换掉，再令 u = sec x。

那些尴尬的剩余情形——带奇次 tan 却没有 sec，或单独一个奇次 sec——并不会乖乖让位给干净的换元。「integral of sec x dx = ln|sec x + tan x| + C」是那个著名的技巧（同时乘除以 sec x + tan x，让分子恰好成为分母的导数）；而「integral of sec^3 x dx」则是递推公式或分部积分的教科书案例——正是下一份指南要搭建的那套递推机器。能认出一道题属于这个更难的角落，本身就是一种进步。

魏尔斯特拉斯换元：一招通吃

那像「integral of dx/(2 + cos x)」这种，既没有幂可拆、又没有因子可留的，又该怎么办？这时魏尔斯特拉斯换元——正切半角换元 t = tan(x/2)——就是一种真正的万能溶剂。它的神奇之处在于：能把关于 sin x 与 cos x 的任意有理表达式，化成一个只关于单一代数变量 t 的有理函数，三角函数被一扫而空。接下来你就用上一份指南里的主力工具收尾：对一个有理函数积分施以部分分式。

Let t = tan(x/2).  Then the three pieces become:

  sin x = 2t / (1 + t^2)
  cos x = (1 - t^2) / (1 + t^2)
  dx    = 2 / (1 + t^2) dt

Example:  integral of dx / (2 + cos x)
  2 + cos x = 2 + (1 - t^2)/(1 + t^2) = (3 + t^2)/(1 + t^2)
  integral becomes  integral of [2/(1+t^2)] * [(1+t^2)/(3+t^2)] dt
                  = integral of 2/(3 + t^2) dt
                  = (2/sqrt(3)) arctan(t/sqrt(3)) + C
  back-substitute t = tan(x/2):
                  = (2/sqrt(3)) arctan( tan(x/2)/sqrt(3) ) + C
三条半角公式，以及一个从头到尾完整算完的积分例子。

这些公式从何而来？它们纯粹是倍角公式的记账结果。把 x = 2 * (x/2)，再用倍角恒等式：sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)，cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)；分子分母同除以 cos^2(x/2)，每一项就都变成 tan(x/2) = t，那个 1 + t^2 的分母正是由此而生。至于 dx，是因为 t = tan(x/2) 给出 dt/dx = (1/2) sec^2(x/2) = (1/2)(1 + t^2)，所以 dx = 2/(1 + t^2) dt。

操作步骤，以及它诚实的局限

  1. 令 t = tan(x/2)，并写下 dt = (1/2)(1 + t^2) dx，即 dx = 2/(1 + t^2) dt。
  2. 把每个 sin x 换成 2t/(1 + t^2)，每个 cos x 换成 (1 - t^2)/(1 + t^2)；被积函数就变成关于 t 的有理函数。
  3. 化简并积出这个有理函数——通常用部分分式，有时一步 arctan 或对数即可。
  4. 再把 t = tan(x/2) 回代；若是定积分，则改为转换上下限（x = 0 对应 t = 0，并要当心 x = pi 附近）。

退一步看，整片图景其实是同一个连贯的想法：这里的每一种方法，最终都把一个三角积分约化成你早已会做的初等对象——关于 u 的多项式、一串余弦之和，或一个有理函数。这些原函数没有一个是神秘的或非初等的；它们总以闭形式存在。你真正在锤炼的是判断力——一眼看出该扳哪根杠杆（奇偶、恒等式，还是半角），才能以最少的功夫打开眼前这道积分。