当简单方法用尽时
你手里已经有两件好工具。换元积分是链式法则的逆操作——当被积函数里藏着一个内层函数、而它的导数恰好也在场时，它就管用。分部积分是乘积法则的逆操作——当你能把一个难积分换成一个容易些的积分时，它最出彩。但有些被积函数对这两招都无动于衷。最常见的两块绊脚石，一是像 sqrt(a^2 - x^2) 这样顽固的根号，二是像 (3x + 5) / (x^2 - x - 2) 这样的多项式之比。这篇指南分别给你应对它们的标准战术。
贯穿其中的，正是你一直依赖的那条主线：把问题变成你认得的形状。普通的换元只是把一个变量换成另一个，指望新积分更友好。这里我们更大胆——要么整个换成一个三角函数，要么把一个分式拆开——但精神完全一样：变形、积分、再翻译回去。记住这「三拍」节奏，两种方法就不再像魔法，而更像记账。
三角换元：三种根号，三把钥匙
三角换元建立在三条勾股恒等式上，每一条都是一把为特定根号量身打造的钥匙。因为 1 - sin^2(theta) = cos^2(theta)，令 x = a sin(theta) 就把 sqrt(a^2 - x^2) 变成 a cos(theta)——根号化进一个干净的余弦里。因为 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta)，令 x = a tan(theta) 就把 sqrt(a^2 + x^2) 变成 a sec(theta)。又因为 sec^2(theta) - 1 = tan^2(theta)，令 x = a sec(theta) 就把 sqrt(x^2 - a^2) 变成 a tan(theta)。看一眼根号，就知道该抓哪个换元。
sqrt(a^2 - x^2) set x = a*sin(theta) -> root = a*cos(theta) sqrt(a^2 + x^2) set x = a*tan(theta) -> root = a*sec(theta) sqrt(x^2 - a^2) set x = a*sec(theta) -> root = a*tan(theta)
还有一处账要记：换掉 x 时，也必须把 dx 换成它的微分。对 x = a sin(theta)，就是 dx = a cos(theta) d(theta)。两者一起代入，整个积分就变成关于 theta 的问题——通常是正弦、余弦或正割的可控组合，接着你就用下一篇关于三角函数幂次的技巧来收拾它。
走一遍——以及你必须盯住的符号
设想积分 1 / sqrt(4 - x^2) dx。根号 sqrt(4 - x^2) 对应第一种形状，a = 2，于是令 x = 2 sin(theta)，得 dx = 2 cos(theta) d(theta)，根号 = 2 cos(theta)。积分塌缩成 (2 cos(theta) d(theta)) / (2 cos(theta))，也就是 d(theta) 的积分——等于 theta。现在翻译回去。由 x = 2 sin(theta) 得 sin(theta) = x/2，故 theta = arcsin(x/2)。答案是 arcsin(x/2) + C，一个反函数恰好出现在几何所预示的位置。
要把更繁的答案翻译回 x，就画出这次换元所编码的直角三角形。由 sin(theta) = x/2，把对边标为 x、斜边标为 2；勾股定理填出邻边为 sqrt(4 - x^2)。这样你需要的任何 theta 的三角函数——cos(theta)、tan(theta)、sec(theta)——都能直接从三角形上读出来。这张小图正是把每个关于 theta 的答案带回原变量 x 的桥梁。
部分分式：拆开一个有理函数
现在是第二堵墙：多项式之比。部分分式分解正是「通分相加」的逆操作。你把一个纠缠在一起的分式，拆回若干更简单分式之和，每一个的分母都是原分母的一个基本因子——而这些小块你早就会积。这正是一般地对有理函数积分背后的引擎。
- 先看次数。若分子次数不低于分母，先做多项式长除法，把多项式商放到一边（它平凡可积）。
- 把分母彻底分解成一次因子 (x - a) 和不可约二次因子 (x^2 + bx + c)。
- 每个因子写一项：一次因子 (x - a) 给出 A/(x - a)；重根 (x - a)^2 还要加 B/(x - a)^2；不可约二次因子配一次分子 (Bx + C)/(x^2 + bx + c)。
- 解出待定常数——去分母后，要么比较系数，要么代入方便的 x 值——再把每一块积成对数、反正切或幂函数。
看 (3x + 5) / (x^2 - x - 2)。分母分解为 (x - 2)(x + 1)，于是写成 A/(x - 2) + B/(x + 1)。去分母得 3x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2)。代入 x = 2：11 = 3A，故 A = 11/3。代入 x = -1：2 = -3B，故 B = -2/3。积分现在就是 (11/3) ln|x - 2| - (2/3) ln|x + 1| + C——两个普通对数，不需要任何花招。
选对武器——以及一个诚实的边界
这个判断大体靠眼力。一个二次形状的根号（a^2 ± x^2 或 x^2 - a^2）在喊三角换元。一个没有根号的多项式之比在喊部分分式。两者甚至会配合：当根号里的二次式不居中时，先配方——sqrt(x^2 + 4x + 13) 变成 sqrt((x + 2)^2 + 9)，再平移 u = x + 2，就交给你一个干净的 a^2 + u^2 形状，正好用正切换元。
这里藏着一个了不起的承诺。因为每个部分分式块都积成对数、反正切或幂函数，所以每个有理函数都有初等原函数——没有例外，也从不需要任何奇异东西。部分分式后面还会重现：拉普拉斯逆变换正是靠这种拆分，把传递函数拆成简单项，逐项读出。而对某些三角分式的被积函数，魏尔斯特拉斯换元 t = tan(theta/2) 能把整个东西变成 t 的有理函数——直接送进部分分式。