常微分方程边值问题的格林函数

那一戳便知晓一切

本级的上一篇已经向你推销了那个核心技巧，所以在动手之前，让我们再点它一次名。你有一个线性算子——比如拉紧的弦的 L[u] = -(d^2u/dx^2)，或更一般的 L[u] = (d/dx)(p du/dx) + q u——而你想在区间 [a, b] 上、两端都被钉死的条件下，求解非齐次[[boundary-value-problem|边值问题]] L[u] = f(x)。格林的美妙想法是：不要一下子去问那个杂乱的载荷 f，而改问：系统对位于某一处 s 的单个无穷集中的单位戳击如何响应？这个响应，作为观测点 x 的函数，就是[[greens-function|格林函数]] G(x, s)。一旦你拥有它，整个问题的答案不过是一个叠加——u(x) = integral from a to b of G(x, s) f(x) ds——因为线性系统对一堆戳击之和的回应，正是各个回应之和。

说得精确些，G(x, s) 是 L[G] = delta(x - s) 的解，并且服从与原问题相同的齐次边界条件。这里 delta(x - s) 是中心在源点 s 的[[dirac-delta-function|狄拉克 delta]]——记住先前那份诚实：它根本不是一个真正的函数，而是一个分布，是越来越高、越来越窄、面积恒为一的尖峰的极限，唯有在积分之内才被赋予意义。正是这一微妙之处使得这套构造饶有趣味，因为一个真正的函数永远无法等于一个尖峰。本篇的全部手艺，就是把那个古怪的右端项，化成一份你能亲手执行的、彻底具体的配方。

四条要求把 G 完全钉死

下面这个关键领悟，把右端的一个分布化成了寻常的微积分。在远离源点之处——在每一个并不恰好等于 s 的 x 处——delta 不过就是零。于是在 s 的两侧，格林函数都满足平平无奇的*齐次*方程 L[G] = 0，正是那个你早已知道如何求解的方程。源唯独在单点 x = s 处显露存在，而它在那里的全部效应，都被浓缩进一条单一而尖锐的条件。所以 G 由两段寻常光滑的部件搭成，一段对应 x < s，一段对应 x > s，再在 s 处由若干编码着那一戳的规则缝合起来。

对一个二阶算子，四条要求就把 G 完全定死，而把这四条同时摆在眼前是值得的。其一，边界条件：G 必须服从问题自身的齐次边界条件——对两端固定的弦，G(a, s) = 0 且 G(b, s) = 0。其二，离源处的齐次方程：对一切不等于 s 的 x，在两侧各自地，L[G] = 0。其三，源点处的连续性：G 本身必须在 x = s 处连续——弦是被戳，不是被扯断，所以它没有豁口。其四，跳跃条件：一阶导数 dG/dx 在你越过 s 时必须发生一道突然的、可计算的跳跃。前三条感觉很自然；第四条才是关键所在，接下来两节先把它造出来，再把它挣到手。

那道跳跃从何而来

为什么一阶导数必须跳跃，而且恰恰跳那么多？这个论证很短，值得一看，因为它让 delta 做了它唯一的本职——积分为一。取自伴形式下的定义方程 (d/dx)(p dG/dx) + q G = delta(x - s)，把两边在一个刀刃般薄的窗口上、从 s 减 epsilon 到 s 加 epsilon 积分，再让 epsilon 缩向零。右端你恰好得到 1，因为 delta 面积为一，而窗口正跨在它的尖峰之上。左端，q G 项在极限里毫无贡献：G 连续且有界，于是它在一个趋零窗口上的积分也趋零。唯有那个导数项幸存，而由微积分基本定理，它的积分不过是 p dG/dx 在窗口两缘处的取值之差。

把这两半拼到一起，跳跃条件便径直冒出来：p(s) 乘以 [ dG/dx 在 s 紧右侧的值，减去 dG/dx 在 s 紧左侧的值 ] 等于 1。换句话说，G 的导数在源点处*不连续*，当你跨过它时恰好跃变 1/p(s)，而 G 本身则保持不断。对取 L = -d^2/dx^2 的素弦，自伴系数为 p = -1，于是 G 的右导数减左导数等于 -1：当你从左向右越过顶点时，帐篷的斜率掉了一。这个单一的数字，就是 delta 留下的指纹，也是你单凭齐次方程绝拿不到的那一条信息。

配方，逐步而行

现在把一切组装成一道你能在任何正则二阶边值问题上执行的程序。其思路是：在源的每一侧，挑那个本就满足该侧边界条件的齐次解——一半的条件白白搞定——再用连续性和跳跃来定下剩余的两个常数。你会需要 L[u] = 0 的[[fundamental-set-of-solutions|基本解组]]，即那两个独立齐次解，每一个解都由它们搭成；求出它们，正是你在本卷较早处已经做过的、大一风格的活计。

求解齐次方程 L[u] = 0，找出两个独立解。把满足 a 处左边界条件的那个组合记作 u1，把满足 b 处右边界条件的那个组合记作 u2。（对弦，u1 = x - a 在 a 处归零；u2 = x - b 在 b 处归零。）
写下两段拟设：当 x 在 s 之下时 G(x, s) = A u1(x)，当 x 在 s 之上时 G(x, s) = B u2(x)。左段已经服从 a 处的边界，右段已经服从 b 处的边界。只剩下两个未知常数 A 与 B，而它们可以依赖于 s。
在源点处施加连续性：两段在那里必须一致，所以 A u1(s) = B u2(s)。这是关于 A 与 B 的一个线性方程。
施加跳跃：在 s 处用右斜率减去左斜率，并令 p(s) 乘这个差等于 1。这给出 p(s) [ B u2'(s) - A u1'(s) ] = 1，即第二个线性方程。
解这个 2 乘 2 线性方程组求 A 与 B。出现的行列式恰是 p(s) 乘以 s 处的朗斯基行列式 W(u1, u2)——而一个基本事实让这一切干净利落：对自伴算子，p(x) W(x) 是一个常数，与 s 无关，于是这套代数齐齐塌缩。结果是 A = u2(s)/(pW) 与 B = u1(s)/(pW)。
把答案以其对称形式读出：G(x, s) = u1(x_<) u2(x_>) / (p W)，其中 x_< 是 x 与 s 中较小者，x_> 是较大者。这一条公式一举覆盖两侧，并显露出对称性 G(x, s) = G(s, x)——源在 s 处对 x 的效应，等于源在 x 处对 s 的效应。

一顶帐篷，从头搭到尾

让我们在尽可能干净的例子上跑一遍配方，好让你看着每一个数字逐一现身：[0, 1] 上单位张力的弦，两端夹紧，满足 -G'' = delta(x - s)。齐次方程不过是 G'' = 0，其解是直线。穿过左墙的直线是 u1 = x（它在 0 处归零）；穿过右墙的直线是 u2 = x - 1（它在 1 处归零）。于是 s 之下，G = A x；s 之上，G = B (x - 1)。s 处的连续性给出 A s = B (s - 1)。该算子的自伴系数为 p = -1，所以跳跃条件是 -[ B - A ] = 1——也就是右斜率 B 减去左斜率 A 必须等于 -1。

Problem:  -G'' = delta(x - s)  on [0,1],   G(0)=0,  G(1)=0

Homogeneous G''=0  ->  straight lines.
   left  piece (vanishes at 0):   G = A x
   right piece (vanishes at 1):   G = B (x - 1)

Two gluing conditions at x = s:
   continuity:        A s   =  B (s - 1)
   jump (p = -1):     B - A  =  -1          [ right slope - left slope ]

Solve:    A = 1 - s ,    B = -s

               | (1 - s) x        for  0 <= x <= s      (rising line)
   G(x, s) =   |
               | s (1 - x)        for  s <= x <= 1      (falling line)

        = (1 - x_>) x_<          x_< = min(x,s),  x_> = max(x,s)

   Peak height at x = s :   G(s, s) = s(1 - s)   ->  a tent.
   Note the symmetry:       G(x, s) = G(s, x).

整套构造浓缩在一张卡片上：两段直线，由连续性和一个单位的斜率下落黏合，给出帐篷 G(x, s) = (1 - x_>) x_<——而它关于 x 与 s 对称。

解那两个小方程给出 A = 1 - s 与 B = -s，于是 G(x, s) 在左侧是 (1 - s) x、右侧是 s (1 - x)——正是一顶在源正上方、峰高 s(1 - s) 的帐篷。现在收取回报。要解真正的问题 -u'' = f(x)、弦被夹紧，你再也不必碰那个微分方程；你只需对帐篷积分：u(x) = integral from 0 to 1 of G(x, s) f(s) ds。一个格林函数，只算一次，就打发掉你今后挂在这根弦上的*每一个*载荷 f。这正是格林为你换来的杠杆——并请留意，它完全来自求解一个齐次方程加上黏合，从未正面硬碰那个 delta。

小字，以及它通向何处

对这套构造何时奏效要诚实。它要求齐次问题在给定边界条件下*只有平凡解*——等价地说，零不是该算子的本征值。倘若有一个非零的 u 在两端边界条件都已满足的情况下解出 L[u] = 0，那么朗斯基行列式分母 p W 就会是零，公式随之炸裂；那时根本没有格林函数，而边值问题要么无解、要么有无穷多解。这恰是奇异矩阵的连续回响：当 L 有非平凡零空间时你无法对它求逆，正如你无法对一个带零本征值的矩阵求逆。这套配方默默假定了你身处可逆的情形。

还有两点说明让你保持诚实。我们在例子里见到的对称性 G(x, s) = G(s, x) 并非弦的巧合——只要算子是自伴的、边界条件属于对称的斯图姆–刘维尔那一类，它就成立，而对非自伴问题它会失效，那时你必须改用算子的伴随。还有，叠加 u(x) = integral of G(x, s) f(s) ds 恰恰是[[variation-of-parameters|参数变易法]]沿另一条路径所产出的东西；格林函数实际上就是参数变易法，只不过把积分限安排得从一开始便把边界条件烤了进去，于是答案无需再做任何调整。

退一步，看看你如今握有什么。格林函数是微分算子的连续逆——矩阵逆的对应物——而你只凭两个齐次解、一处连续性匹配、以及那一道可计算的导数跳跃，就能亲手把它造出来。同样的构造在以后每一种情形里反复出现：变的只是齐次解和系数 p。本级随后的指南把它继续向前推——把对称性与自伴的关联弄精确，再到把 G 重建为对你上一级遇到的那些斯图姆–刘维尔本征函数求和的本征函数展开，最后跃向偏微分方程，那里同样的「戳一下再叠加」想法解答了热方程与波方程。