你早已认识的那座积分动物园
走到本级时，你已经收集了一整座积分的动物园，而它们看上去像是不同的野兽。有第一卷里朴素的定积分，integral from a to b of f(x) dx。有做功的线积分，沿曲线 integral of F dot dr。有把密度积在某区域上的二重或三重积分。还有通量积分，穿过曲面 integral of F dot n dA。每一个都带着自己的记号、自己的搭法、自己的一套公式动物谱。本级的头一件事，就是看出它们其实根本不是不同的野兽。
看看每个积分在物理上做了什么。算线积分，你把曲线切成一小段一小段有方向的线段，对每一小段配上一个数（这一步要花多少功）。算通量积分，你把曲面切成一小片一小片带定向的面片，对每一片配上一个数（有多少流体穿过它）。算三重积分，你把立体切成一个个带定向的小盒子，对每个盒子配上一个数（它装着多少质量）。每一种情形里，配方都一模一样：把一小块带定向的空间递给被积对象，拿回一个数，再把这些数加起来。被积对象就是一台「吃带定向的小块、吐数」的机器。
最简单的形式：0-形式与 1-形式
从最底层开始。一个 [[differential-form|0-形式]] 就是一个普通的标量函数 f(x, y, z)——压根没有新东西。为什么把函数叫作形式？因为它被积分的方式：一个 0-形式在 0 维区域、也就是单独一个点上「积分」，而在一个点上积分就只是把函数在那里求值。函数吃一个点、吐一个数。这是这个家族里退化、最简单的成员，它定下了模式：零阶配零维。
现在来看头一个真正崭新的对象：[[one-form|1-形式]]。它在每一点上是一台微小的线性量尺，吃一个向量——一个步的方向与长度——吐出一个数。最干净的图景是一座高度为 f 的山的等高线地图。写作 df 的 1-形式，就是那台装置：你递给它一步，它告诉你爬升了多少。等高线挤在一起处，每一步的爬升很大，于是 df 在那里「密」；地势平坦处，df 几乎什么都不还。用坐标写，一个 1-形式形如 P dx + Q dy + R dz：那些 dx、dy、dz 是基本量尺，分别报告你这一步向东、向北、向上走了多远，而 P、Q、R 是每个方向各算几分。
1-形式恰恰就是你沿曲线积分的东西。沿一条路径对 P dx + Q dy + R dz 积分，就是你已经熟悉的第一卷线积分——而那个老记号 F dot dr 一直都是乔装的 1-形式，其中 (P, Q, R) 就是 F 的分量。你曾欢欢喜喜拿来积分的那个 dr，其实从来不是一个你拿去点乘的向量；它是 dx、dy、dz 这三台量尺，正等着一个步。认出这一点，就把一条你背下来的公式，变成一个你能想象的对象：把曲线的步一个一个递给它，让 1-形式逐一量度，再加起来。
向上攀登：2-形式，以及成就面积的反对称
1-形式量度的是一维的步。自然的下一问是：什么来量度一片二维的面片——一小块带定向、有面积的平行四边形？那就是 2-形式。它在每一点上是个装置，吃两个向量（一小片带定向面片的两条棱），吐出一个数：那片面片所代表的、由场加权的有符号面积。2-形式恰恰就是你在曲面上积分的对象，所以你在第一卷算的通量积分 F dot n dA，自始至终都是一个 2-形式，只是披着「向量与法向」的外衣。
要造 2-形式，我们需要一种把两个 1-形式相乘、得出一台「面积量尺」的办法。那个乘积叫楔积，用记号 dx ^ dy 写出，它有一个定义性的怪癖：它是反对称的，意思是 dx ^ dy = - dy ^ dx，因而 dx ^ dx = 0。这不是随手定的规矩。把平行四边形的两条棱对调，它的定向就翻转（顺时针变逆时针），于是有符号面积必须变号——这恰恰就是平行四边形面积的行列式法则，[a, b; c, d] 给出 ad - bc，它在你交换两行时也变号。而两条棱相同的「平行四边形」被压成一条线，面积为零，这便是 dx ^ dx = 0 的缘由。反对称，不过是有向面积写成了符号。
一般的对象：k-形式
现在可以把一般定义干净地说出来。一个 [[k-form|k-形式]] 是这样一个装置：它在每一点上吃 k 个切向量——一个微小、带定向的 k 维盒子的 k 条棱——吐出一个数：那个盒子所代表的、由该点的场加权的有符号 k 维体积。它对每个输入向量是线性的（把一条棱加倍，答案加倍），且是反对称的（对调任意两条棱，符号翻转）。这两条性质，就是「微分形式」的全部内容。用坐标写，一个 k-形式是若干基本片段之和，每个片段形如 dx_i ^ dx_j ^ ...（k 个因子楔在一起），各乘上一个普通函数。
反对称有一个惊人的后果：在 n 维空间里，你造不出阶高于 n 的形式。三维中的 k-形式只在 k = 0, 1, 2, 3 时存在。原因是：任何含重复 dx 的楔积（如 dx ^ dx）都塌成零，而只有 n 个不同的坐标微分，就没法把多于 n 个楔在一起而不重复。所以在 R^3 中，顶阶形式是 3-形式 dx ^ dy ^ dz——体积形式，你积它便得到普通体积，正是第一卷里那个三重积分的 dV 顶着它真正的名字。在顶维之上，形式的世界就干脆是空的。
FORMS IN R^3 -- one entry per dimension, each is what you integrate over that dimension
degree 0 f over a POINT (evaluate f) <- a scalar function
degree 1 P dx + Q dy + R dz over a CURVE (line integral) <- 3 components
degree 2 A dy^dz + B dz^dx + C dx^dy over a SURFACE (flux integral) <- 3 components
degree 3 g dx^dy^dz over a SOLID (triple integral) <- 1 component, the volume form
Component counts 1, 3, 3, 1 are the binomial coefficients C(3,k):
the number of ways to choose k distinct differentials out of {dx, dy, dz}.为什么这门语言值得费这番功夫
你或许会合理地问：这些积分我本来就会算——干嘛把什么都改名？回报在于统一，而且回报巨大。一旦被积对象都是形式，就有一个唯一的算子 d，即外微分，它把一个 k-形式变成一个 (k+1)-形式。后面的指南会表明：d 作用在 0-形式上给出梯度，作用在 1-形式上给出旋度，作用在 2-形式上给出散度——向量微积分的三个算子，是同一个算子在三个阶上的样子。这就是梯度-旋度-散度词典塌缩成一条规则，也正是本级存在的核心缘由。
而本级的招牌承诺——格林、斯托克斯与散度定理其实是乔装的同一个定理——也由同一步推出。在形式的语言里，三者都化为同一句话：d(omega) 在一个区域上的积分，等于 omega 在该区域边界上的积分。一个算子，一个定理，所有维度一并搞定。那是终点；本篇只是放下了第一块基石——把「被积的究竟是什么对象」说清楚。
在你继续之前，两句诚实的提醒。其一，楔积 dx ^ dy 不是普通乘法；它是反对称乘积，而忘掉 dx ^ dy = - dy ^ dx 是初学者最常犯的一个失误——那些符号就是含义，绝不是可以丢掉的杂音。其二，「一个形式吃一个小盒子、还出它的加权体积」这幅画是对的直觉，但精确的定义是在每一点上、作用于那里的切向量；形式是逐点的「线性兼反对称」的机器，而「小盒子」是「由输入向量张成的平行六面体」的简写。把这幅画握住，但要知道它是一幅画。