一个大胆的断言，以及它为何该让你不安
整条阶梯都立在这个断言上：取一个以 2L 为周期重复的函数——在 +1 与 -1 之间猛地跳变的方波、小提琴弦那锯齿状的波形，任何周期性的东西，不管它多么带棱带角、多么难看——它都等于无穷多个朴素的正弦与余弦之和。不是近似地等于，而是在函数表现良好的地方真正相等。光滑、圆润的正弦竟然能加出一道陡直的跳跃，你头一回听到时本就该觉得这不可能，而你这份不安是健康的：它恰恰是我们稍后必须诚实交代的那个微妙之处。
这个想法——三角傅里叶级数——之所以重塑了物理学与工程学，恰恰是因为我们关心的太多系统都是线性的，并且对单一纯音的响应非常简单。单摆、电路、被加热的杆、振动的膜：给它们各自喂入一个单一正弦，它就以一个同频率的干净正弦作答。于是如果你能把一个复杂的输入打碎成它的正弦碎片，你就能分别求解每一片、再把答案加起来——这正是你在解线性微分方程时见过的叠加原理。傅里叶级数就是那个负责打碎的工具。
谐波的目录
首先，究竟哪些正弦和余弦有资格进入这个和式？只有那些自身以同一周期 2L 重复的，否则总和就不会是周期的。在从 -L 到 L 的区间上，它们就是 cos(n pi x / L) 与 sin(n pi x / L)，其中 n = 1, 2, 3, ……，再加上对应 n = 0 的常数项。n = 1 的波在一个周期里正好装下一整个起伏；这个最慢的波规定了基频。n = 2 的波装下两个，n = 3 装下三个，以此类推——这些更快的波就是谐波。所以这个级数是一份带权重的目录，每个谐波配一个旋钮。
把这份目录写全，一个以 2L 为周期的函数 f 的三角傅里叶级数就是 f(x) = a_0/2 + 从 n = 1 到无穷的 [ a_n cos(n pi x / L) + b_n sin(n pi x / L) ] 之和。常数项 a_0/2 是 f 在一个周期上的平均水平——一切振荡都围绕它进行的那个基准。每个 a_n 说明掺进了多少第 n 个余弦，每个 b_n 说明掺进了多少第 n 个正弦。整个「求傅里叶级数」的问题归结为一件事：钉住那些数 a_0, a_1, b_1, a_2, b_2, ……——也就是每个谐波各占多少。这串数量就是这个函数的离散频谱，它在频率上的指纹。
正交性：让我们一次只读一个旋钮的诀窍
那个和式里似乎纠缠着无穷多个未知数——我们怎么可能在不先知道其余所有未知数的情况下，单单解出 b_7 呢？逃生口是一个叫正交性的优美事实。从我们的目录里任取两个不同的波，把它们相乘，再在一整个周期上积分：答案恰好是零。例如 从 -L 到 L 的 cos(2 pi x / L) sin(3 pi x / L) dx 之积分 = 0，cos(2 pi x / L) cos(5 pi x / L) 的积分也是零。只有当你把一个波乘以它自己时，积分才得出非零值（它等于 L）。在积分的意义下，这些余弦和正弦彼此「垂直」。
现在看陷阱怎样弹开。假设 f 确实就是那个无穷和，而我们想要 b_7。把两边都乘以 sin(7 pi x / L)，再在一个周期上积分。在右边逐项来看，每个乘积都是某个目录波乘以 sin(7 pi x / L)——而由正交性，这些积分里的每一个都坍缩为零，唯独那一项例外：匹配的 b_7 sin(7 pi x / L) 遇上了它自己的孪生兄弟。这个孤独的幸存者积分出 b_7 乘以 L。无穷的交通堵塞瞬间疏通，只留下一个含一个未知数的方程。正交性就是那把把每个系数单独剥离出来的手术刀。
欧拉公式：三个积分构成的配方
把那个剥离动作对余弦做一遍、对正弦再做一遍，你就推出了整套配方——系数的欧拉公式（也叫欧拉-傅里叶公式）。它们只是三个定积分，每一个都是 f 在正交族某一根轴上的投影。注意它们只索取 f 本身：你把给定函数与一个已知的波相乘后积分，便掉出一个数。无需求解，无需猜测——每个系数都被直接算出来，落在一个诚实的定积分里。
Period 2L. Trig Fourier series:
f(x) = a_0/2 + sum_{n>=1} [ a_n cos(n pi x / L) + b_n sin(n pi x / L) ]
EULER (Euler-Fourier) FORMULAS -- each coefficient is one integral:
a_n = (1/L) * integral_{-L}^{L} f(x) cos(n pi x / L) dx (n = 0, 1, 2, ...)
b_n = (1/L) * integral_{-L}^{L} f(x) sin(n pi x / L) dx (n = 1, 2, 3, ...)
-> a_0 = (1/L) * integral_{-L}^{L} f(x) dx = 2 * (average of f)
which is why the constant term is written a_0/2.
WHY the 1/L: integral_{-L}^{L} cos^2(n pi x / L) dx = L (a wave dotted with itself),
every other cross term integrates to 0 (orthogonality).如果你先检查 f 的对称性，海量的劳作就会蒸发掉，这个想法值得拥有自己的术语：偶函数与奇函数。如果 f 是偶的（关于竖轴成镜像，像 cos），那么每个 b_n 的被积函数都是奇的，在对称区间上积分为零——所以偶函数纯由余弦搭成。如果 f 是奇的（像 sin，满足 f(-x) = -f(x)），那么每个 a_n 都消失，只有正弦幸存。在你算出任何一个积分之前，认出这一点就把工作量砍掉一半，而它正是你日后用来让傅里叶级数适配一个非周期问题的半幅展开的种子。
一幅做出来的图景：拼出方波
我们来真正搭点东西。取一个周期为 2L 的方波，它在左半边（-L 到 0）等于 -1，在右半边（0 到 L）等于 +1。它是奇的，所以我们还没动手，每个余弦系数 a_n 就已经是零了——只有正弦会出现。代入正弦的欧拉公式、做那个初等积分，幸存下来的系数是：当 n 为奇数时 b_n = 4/(n pi)，当 n 为偶数时恰好为零。于是这个方波就是 (4/pi) [ sin(pi x / L) + (1/3) sin(3 pi x / L) + (1/5) sin(5 pi x / L) + …… ]——只有奇次谐波，且一个比一个弱。
想象部分和一层层叠起来。单单第一个正弦是一个胖乎乎的圆鼓包——一团粗糙的东西，却已经有了正确的上下节奏。加上第三谐波，鼓包的肩部就方了一点。再加第五、第七，平顶变平、侧壁变陡、棱角变利。每个新谐波都是一把精细的凿子，修正在它之前那些项留下的残差。继续下去，那个圆鼓包就稳稳地朝着干脆的矩形波迈进。这幅图里就装着整套哲学：复杂由简单的音调拼成，每个音调修正更粗糙的那些弄错的地方。
你现在握着什么，以及它接下来通向何处
- 确定周期 2L，并且不妨看一眼对称性：偶的 f -> 只有余弦，奇的 f -> 只有正弦。这能在你动手之前就消灭一半的积分。
- 用欧拉公式算系数：a_n = (1/L) 乘以 f cos(n pi x / L) 在一个周期上的积分，b_n = (1/L) 乘以 f sin(n pi x / L) 的积分。每个都是与一个已知波相乘后的一个定积分。
- 拼出级数 f(x) = a_0/2 + sum [ a_n cos + b_n sin ]，并把这串系数读作信号的频谱——每个谐波上坐着多少能量。
这就是整条阶梯的引擎。一旦你能把一个周期输入分解成谐波，你就能一次一个谐波地求解线性物理、再叠加起来——这正是杆中的热方程与弦上的波方程在本卷后面被撬开的方式。这同一个投影思想，从正弦余弦中解放出来，就成了复指数级数（用一个利落的公式代替两个），接着是面向永不重复信号的傅里叶变换，最后是那一整族把微积分问题化为代数的积分变换。你刚刚学会的，是把一个函数当作一个和弦来听——并叫得出其中的每一个音。