本阶最后一篇：收获回报
在本阶中你已经搭好了机器：解析函数是出奇地僵硬的，它的实部与虚部被柯西-黎曼方程牢牢锁在一起，而对这样的函数沿一条不包围任何麻烦的闭回路做围道积分，结果恰好为零。现在我们把这一切兑现。主角是留数定理，它日常的活儿却出奇地实用：它能算出难缠的实积分——就是那种让换元法、分部积分和部分分式统统无计可施的积分。
回忆一下前几篇的结论。一个除了孤立坏点之外处处解析的函数，在每个坏点 z0 附近都有一个洛朗级数——一种允许带负次幂的泰勒级数：…… + a_{-2}/(z-z0)^2 + a_{-1}/(z-z0) + a_0 + a_1 (z-z0) + ……。其中 1/(z-z0) 这一项的那个系数 a_{-1} 被称为 z0 处的留数，记作 Res(f, z0)。下面要讲的全部，就是为什么唯独这一个数——留数——能在绕回路积分时幸存下来。
为什么只有留数幸存
整套理论都悬挂在这一个事实上。把简单的幂 (z-z0)^n 沿以 z0 为心的小圆绕一圈积分，设 z = z0 + r e^{i theta}，theta 从 0 跑到 2 pi。代入并算下去，(z-z0)^n dz 的积分对每个整数 n 都为零——唯独 n = -1 例外，此时它恰好等于 2 pi i。每一个普通的幂绕回路都积成零；只有 1/(z-z0) 这一项留下了脚印，而这个脚印就是那个万能常数 2 pi i。
现在把一个函数的洛朗级数铺在那条回路上，逐项积分。除了 a_{-1}/(z-z0) 这一项以外，每一项都化为零，而这一项贡献 a_{-1} 乘以 2 pi i。于是绕一个孤立奇点的围道积分等于 2 pi i 乘以那里的留数——整条无穷级数里其余的一切都无关紧要。这其实就是从新角度看的柯西积分公式：那条公式已经告诉过你，单单一个系数就主宰着回路积分，而留数正是这一想法的成熟版本。
不必求出整条洛朗级数也能算留数
你几乎从不需要整条洛朗级数来取得 a_{-1}；那样做就违背了初衷。坏点的种类在此很关键——回忆奇点的分类，极点是友好的情形，此时 f 像某个有限阶 m 的 1/(z-z0)^m 那样爆掉。对一阶（单）极点，留数就是 z 趋于 z0 时 (z-z0) f(z) 的极限。对更高阶的极点，则先求导：把 (z-z0)^m f(z) 求 (m-1) 次导数，再取极限，并除以 (m-1) 的阶乘。
Residue at a pole z0 of order m:
Res(f, z0) = 1/(m-1)! * lim_{z->z0} d^{m-1}/dz^{m-1} [ (z-z0)^m f(z) ]
Simple pole (m = 1): Res(f, z0) = lim_{z->z0} (z-z0) f(z)
For f = g/h with g(z0) != 0 and h a simple zero:
Res(f, z0) = g(z0) / h'(z0)要诚实面对这份舒适的边界。极点是温顺的，但本性奇点（比如 e^{1/z} 在原点）的洛朗级数带有无穷多个负次幂，根本没有有限公式——你必须真的从级数里读出 a_{-1}。而且这些留数公式都预设了奇点是孤立的；复对数或平方根的支点是另一种怪兽，被一条支割线围隔起来，回路必须画得尊重这条割线，而不能穿过它。
闭合围道：实积分应声而落
这就是计算实积分核心处的魔术。假设你想求一个沿整条实数轴的定积分，比如从负无穷到正无穷的 1/(1 + x^2) dx。实数轴是一条敞开的路，不是回路——所以我们把它闭合。补上一段半径为 R 的巨大半圆，从上半平面拱回起点。现在你有了一条真正的闭围道，包围着上半平面里的奇点，于是留数定理对整条回路成立。
- 把 1/(1+x^2) 延拓为复函数 1/(1+z^2)。把分母分解：1 + z^2 = (z - i)(z + i)，于是极点位于 z = i 与 z = -i。
- 向上闭合。围道（实轴加上半圆）只包围 z = i。位于下方、在外部的极点 z = -i 不作任何贡献。
- 单极点 z = i 处的留数：用 g 比 h 的导数，g = 1，h = 1 + z^2，h 的导数 = 2z，得到 1/(2i)。
- 证明大半圆消失：在它上面 |f| 以 1/R^2 缩小，而其长度以 R 增长，故当 R 趋于无穷时它的贡献归零。剩下的恰好就是那个实积分。
- 汇总：回路积分 = 2 pi i * (1/(2i)) = pi。既然半圆没贡献，实积分就等于 pi。完成——全程没写过一个原函数。
停下来想想刚发生了什么。这个特定答案你可以手算验证——1/(1+x^2) 的原函数是反正切，反正切从 -pi/2 跑到 pi/2，得 pi。要点在于围道法压根没用到那个原函数，而且当根本不存在初等原函数时它照样奏效。踏入复平面去结算一个实积分是完全正当的方法，不是花招：实数答案本来就是实的，我们只是绕了一条风景优美的路抵达它。
振荡被积函数与无穷级数求和
这套技巧远不止于有理函数。对带有振荡的积分，比如 cos(x)/(1+x^2) 在实数轴上的积分，你把 cos(x) 写成 e^{ix} 的实部，转而积分 e^{iz}/(1+z^2)。指数在上半平面衰减——这就是约当引理——正是它让闭合弧消失，哪怕被积函数衰减得很慢。再次取 z = i 处的留数，答案 pi/e 就掉了出来。这正是你在本卷前面遇到的傅里叶变换对和拉普拉斯变换背后的引擎。
留数甚至能给无穷级数求和。函数 pi cot(pi z) 在每个整数 n 处都有一个单极点，留数皆为 1。把它乘上一个性质良好的 g(z)，沿一个吞掉所有整数的巨大方框积分；方框越长越大，回路积分趋于零，于是所有留数之总和必为零。整数处的留数重现 g(n) 之和，g 自身极点处的留数则重现闭合形式。这正是如何证明 n 从 1 到无穷的 1/n^2 之和等于 pi^2/6——这个值也与 黎曼 zeta 函数在 2 处的取值相系。
再看一眼：保形映射与势问题
留数并非解析性赠予的唯一礼物。由于解析函数在局部就是一次旋转加伸缩，它保持曲线之间的夹角——它是一个保形映射。这不只是漂亮的几何：任何解析函数的实部与虚部各自都是一个调和函数，意味着它们满足拉普拉斯方程——稳态热传导、静电学与理想流体流动的主方程，也就是你在本卷前面学过的拉普拉斯方程。
这里是工程上的回报。在一个古怪的形状上直接解拉普拉斯方程——绕翼型的流动、尖角附近的场——是很难的。但一个保形映射能把那块别扭的区域弯成一块整洁的（一个圆盘或半平面），在那里解一目了然；又因为调和性在映射下得以保留，你可以把简易解搬回去，在原来的形状上读出答案。留数定理与保形映射正是解析性的两大红利：前者算出实分析无能为力的积分，后者解出实几何弄得丑陋不堪的边值问题。