泰勒级数走到尽头的地方
到现在你已经知道，解析函数——即在某区域上复可微的函数——是极其刚性的：在任一内点附近它等于自己的泰勒级数，也就是你在第一卷里初次见到的非负幂次 (z - z0)^n 之和。但泰勒级数是个乐天派。它只会描述在 z0 处规规矩矩的函数；对于一个函数爆破的点，它毫无词汇。考虑 f(z) = 1/z 在 z0 = 0 附近：根本不存在任何诚实的幂级数 a0 + a1 z + a2 z^2 + ... 等于 1/z，因为这样的级数在 0 处始终有限，而 1/z 却奔向无穷。
补救之道出奇地简单：也允许负幂次。关于 z0 的 洛朗级数 是一个双向求和，... + a_{-2}/(z - z0)^2 + a_{-1}/(z - z0) + a_0 + a_1 (z - z0) + a_2 (z - z0)^2 + ...，n 取遍从负无穷到正无穷的所有整数。其中 n 为负的部分——称为 主部——正是能描述爆破的新词汇。对 1/z 而言，整个洛朗级数就只有一项 1/z。洛朗级数 是函数在一个环（圆环域）上的正确局部图像，这个环围住一个坏点却不包含它。
奇点的三种风味
孤立奇点是这样一个点 z0：f 在该处不解析，但在它周围的去心邻域上 f 确实解析。主部的形态恰好把它们分成三类——这就是奇点的分类。若主部为空（完全没有负幂次），该奇点是 可去 的：函数只是看起来坏了，补上一个值即可填平这个洞。经典例子是 sin(z)/z 在 z0 = 0 处，其洛朗级数 1 - z^2/6 + z^4/120 - ... 没有负幂次，于是在那里把值定义为 1 就使它变得完全解析。
若主部只有有限多项——它在某个 1/(z - z0)^m 处终止，且 a_{-m} 不为零——则该奇点是 m 阶极点。这里 f 确实跑向无穷，但是以一种受控的、多项式式的方式：乘以 (z - z0)^m 就把它收拾回一个规规矩矩的解析函数。一阶极点称为 单极点；1/z 有一个单极点，而 1/z^3 有一个三阶极点。极点是友善的奇点——应用复分析中几乎一切有用的事都发生在极点处。
而若主部永不终止——有无穷多个负幂次——则该奇点是 本性奇点，函数行为狂野。头号例子是 e^{1/z} 在 z0 = 0 处，其洛朗级数 1 + 1/z + 1/(2! z^2) + 1/(3! z^3) + ... 有一个无尽的主部。皮卡定理说，在本性奇点附近，f 在你所选的任意小环内都无穷多次取遍每一个复值（至多有一个例外）。这些可不友善，我们大多绕道而行。
唯一要紧的系数：留数
在所有洛朗系数中，有一个是王者：a_{-1}，即 1/(z - z0) 的系数。它被称为 f 在 z0 处的 留数，记作 Res(f, z0)。为什么是它而不是别的？因为你在前几篇里已隐约见到的一个小小奇迹。若把 (z - z0)^n 沿一个包住 z0 的小圆绕一圈积分，对每一个整数幂 n 答案都是零，唯独 n = -1 时它等于 2 pi i。于是当你把整条洛朗级数逐项沿奇点积分时，除了 1/(z - z0) 这一项外每一项都消为乌有——而幸存下来的恰好是 2 pi i 乘以 a_{-1}。
所以留数几乎是被设计成这样：它正是围道积分真正能感知到的那部分函数。奇点周围其余一切都积分为零；留数是那不可约去的残余，是极点透过任何环绕它的回路推出的“通量”。这正是把一个局部代数事实——单个洛朗系数——转化为关于积分的全局陈述的桥梁，也是下一篇将要收获的留数定理的种子。
Simple pole at z0: Res(f, z0) = lim_{z->z0} (z - z0) f(z)
Order-m pole at z0: Res(f, z0) = 1/(m-1)! * lim_{z->z0} d^{m-1}/dz^{m-1} [ (z - z0)^m f(z) ]
Quotient g/h, simple pole where h(z0)=0, h'(z0)!=0:
Res(g/h, z0) = g(z0) / h'(z0)从函数读出留数
你很少靠写出整条洛朗级数来计算留数——那是慢路。取而代之，你用能直接抽出 a_{-1} 的捷径。对于单极点，乘掉极点再取极限：Res(f, z0) = z 趋于 z0 时 (z - z0) f(z) 的极限。这一次乘法剥去那唯一的 1/(z - z0) 并显出它的系数。这把戏依靠的正是第一卷里导数那套极限机器，只是搬进了复平面。
- 找出奇点及其阶数。分解分母；若 (z - z0) 以一次幂出现且分子在该处不为零，则为单极点。
- 做一个单极点：取 f(z) = e^z / (z^2 + 1)。分母分解为 (z - i)(z + i)，故 z0 = i 是单极点。相乘：(z - i) f(z) = e^z / (z + i)。
- 取极限 z -> i：Res(f, i) = e^i / (2i)。这就是整个留数——一个概括 i 处极点的复数。
- 对于 m 阶的高阶极点，改为求导 m-1 次：Res(f, z0) = 1/(m-1)! 乘以 (z - z0)^m f(z) 的第 (m-1) 阶导数的极限。干净的幂次 (z - z0)^m 消去极点；求导则挖到 a_{-1} 那一层。
当 f 是商 g(z)/h(z) 且 h 在 z0 处有单零点（即 h(z0) = 0 但 h'(z0) 不为零）时，有一个更利落的公式：Res(g/h, z0) = g(z0) / h'(z0)。在上面的例子里，g = e^z，h = z^2 + 1，h'(z) = 2z，立刻给出 e^i / (2i)——无需分解因式。这条捷径是你早先遇到的柯西积分公式的直系亲属，它早已教过你：函数在回路上的值掌控着内部的一切。
为何重要，以及诚实的附注
在意它的理由极其实用：留数让你算出那些抵御一切实变量方法的实积分。许多从 0 到无穷的定积分——那种没有初等原函数的——一旦你把路径闭合成围道并把内部的留数相加，就瞬间瓦解。这正是后面实积分的计算技术的全部要点。走进复平面去攻克一个实问题不是作弊也不是花招；它是一套完全严格的方法，而留数就是让它运转的齿轮。
几条诚实的告诫。其一，上面的留数公式只适用于极点——本性奇点也有留数（它仍是 a_{-1}），但极限与求导的捷径不管用；你必须从真正的洛朗展开里把那个系数挖出来。其二，把阶数搞对：对一个二阶极点套用单极点公式会不声不响地给出错误的数。其三，留数说的是 孤立 奇点。一个支点——比如复对数在 0 处的那个——不是孤立的，没有洛朗级数，在此意义下也没有留数；它需要支割线和完全不同的工具。
退后一步，看清这个想法的形状。洛朗级数把幂级数的镜头恰好拓宽到足以正对函数破裂之处去观察；主部是关于它 如何 破裂的精确野外指南；而留数把那破裂提炼成一个积分能读取的数。手握于此，你已准备好迎接留数定理——把一个回路内的留数相加，乘以 2 pi i，你便得到那个积分——这是应用数学家工具箱里最利落的工具。