沿围道积分意味着什么
在第一卷里，定积分意味着让 x 沿实轴从 a 扫到 b。在复平面中并不存在唯一的“从左到右”——要把函数 f(z) 累加起来，我们必须先选定一条围道，即一条穿过平面、带方向的路径 C，然后沿它积分。围道积分写作 C 上 f(z) dz 的积分，并且像多元微积分中的线积分一样，它的值可能依赖于你所走的路径，而不仅仅依赖于端点。
具体地说，你把路径参数化为 z(t)（t 从 a 到 b），于是 dz = z'(t) dt，围道积分就变成一个普通的实积分：从 a 到 b 的 f(z(t)) z'(t) dt 的积分。设想逆时针沿单位圆行走，记作 z(t) = e^{i t}（t 从 0 到 2 pi）；此时 dz = i e^{i t} dt，你正在把一个个微小的复数步长 i e^{i t} dt 累加起来，每一步都以 f 加权。整套机制把复积分化归为你早已会处理的参数化。
柯西定理：归零的回路
这就是本主题的第一个奇迹。如果 f 在一条简单闭围道 C 上及其内部处处解析（复可微），那么 f(z) dz 绕 C 的积分等于零。这便是柯西积分定理。无论回路多么蜿蜒，一个解析函数在你回到起点之后都不会留下任何净值。
为什么会这样？把 f(z) = u + i v、dz = dx + i dy 拆开，单个复积分就化成两个实线积分。对每一个用格林定理，所出现的被积式恰好就是柯西-黎曼方程：du/dx = dv/dy 且 du/dy = -dv/dx。解析性使两个二重积分都恒等于零。所以柯西定理其实就是披着积分外衣的柯西-黎曼条件——它是保守场的复平面表亲，在那里梯度的环路积分也为零。
像橡皮筋一样形变围道
柯西定理有一个极其有用的推论：在 f 解析的区域内，只要你不把围道拖过任何奇点，你就可以自由地滑动并拉伸它而不改变积分值。端点相同的两条路径给出相同的答案；一条闭合回路可以随意收缩、外凸或改形。这就是路径形变，也是工作中的分析者的超能力——你把一条丑陋的围道换成方便的圆或直线，而其值保持不变。
当一个奇点确实被困在内部时，形变告诉你整个回路积分等于绕那个坏点的一个微小圆的积分——所有有趣的内容都汇集在那里。这一个想法正是留数定理的种子，我们将在下一篇导引中利用洛朗级数读取每个奇点处残留的系数来展开它。
C (big loop) deform inward
.--------------. .--------------.
/ \ / ___ \
| * z0 | ==> | / \ C0 | loop integral on C
| (singularity) | | | *z0 | | = small loop on C0
\ / \ \___/ / (the rest is analytic)
'--------------' '--------------'柯西积分公式：边界知晓一切
现在是第二个、甚至更令人震惊的结果。如果 f 在闭围道 C 上及其内部解析，而 z0 是内部任意一点，那么 f 在 z0 处的值完全由 f 在边界上的取值恢复出来：f(z0) = (1/(2 pi i)) 乘以 f(z)/(z - z0) dz 绕 C 的积分。这就是柯西积分公式。回路边沿上的取值完全决定了每个内部点的值——内部被边缘所挟持。
其推导恰恰就是形变技巧。在 C 上，被积式 f(z)/(z - z0) 除 z0 外皆解析，于是把回路收缩为以 z0 为心、半径 r 的微小圆：z = z0 + r e^{i theta}。在该圆上 dz = i r e^{i theta} d theta 且 z - z0 = r e^{i theta}，于是 r 相消，积分变成从 0 到 2 pi 的 i f(z0 + r e^{i theta}) d theta 的积分。令 r 趋于零；由连续性 f 趋于 f(z0)，于是剩下 i f(z0) 乘以 2 pi，再除以 2 pi i 即得该公式。
对 z0 在积分号下求导，同样给出每一阶导数的公式：f^{(n)}(z0) = (n!/(2 pi i)) 乘以 f(z)/(z - z0)^{n+1} dz 绕 C 的积分。一个不动声色的推论意味深长：解析函数自动无穷次可微，并等于它自己的泰勒级数，这种刚性在实数世界里毫无对应，在那里一次可微对二阶导数不作任何承诺。
一步步算一个具体回路
让我们计算 (e^z)/(z - 0.5) dz 绕单位圆的积分。被积式只有一个坏点 z0 = 0.5，它落在单位圆内部，而分子 e^z 处处解析。这恰好为以 f(z) = e^z 应用该公式而量身定做。
- 找出极点：分母在 z0 = 0.5 处为零，由于其模 0.5 小于 1，该极点位于单位圆内部。很好——公式适用。
- 套用模式：把被积式写成 f(z)/(z - z0)，其中 f(z) = e^z（在内部解析），z0 = 0.5。
- 应用柯西积分公式：f(z)/(z - z0) dz 绕 C 的积分 = 2 pi i 乘以 f(z0) = 2 pi i 乘以 e^{0.5}。
- 得出答案：回路积分等于 2 pi i 乘以 sqrt(e)，约为 3.30 乘以 2 pi i。我们从未对任何东西求原函数——是 e^z 在极点处的边界值完成了全部工作。
请留意驱动整个应用复分析的这种分工。如果围道不包含任何奇点，柯西定理立刻给你零。如果它恰好包含一个奇点，柯西积分公式直接从边界值读出答案。而当存在多个极点或更糟的奇点时，这两个结果便合并为留数定理与实积分的求值——在复平面中闭合一条围道以攻破一个顽固的实定积分，是一种完全正当的方法，并非花招或作弊。