指数忠诚，逆运算却不然
回忆第一卷：实对数是 e^x 的反函数，每个正数恰好有一个对数。到了复平面，这种干净的一一对应就崩塌了。复指数 e^z 是周期的——欧拉公式给出 e^{i theta} = cos theta + i sin theta，给 theta 加上 2 pi 又回到同一点。于是 e^z 与 e^{z + 2 pi i} 相等。任何想要还原 e^z 的函数因此都无法锁定唯一答案。
把一个非零复数写成极坐标形式 z = r e^{i theta}，其中 r = |z| 是它的模，theta 是它的辐角（角度）。于是复对数为 log z = ln r + i theta，这里 ln r 不过是正数 r 的普通实对数。麻烦出在 theta：z 的角度只能确定到相差 2 pi 的整数倍。所以诚实的公式是 log z = ln|z| + i(theta + 2 pi k)，对每个整数 k 都成立。
绕一圈，你便登上一级台阶
想象你站在 z = 1 处，一个自然的选择给出 log 1 = 0。现在沿单位圆缓缓逆时针行走，让角度 theta 连续增大。当你绕了一整圈回到 z = 1 时，角度已从 0 升到 2 pi——于是对数也从 0 爬到了 2 pi i。你回到了平面上的同一点，函数值却不同。再绕一圈，又升高 2 pi i。
这一切缠绕的枢轴是原点。一个你必须绕行才能累积角度的点，称为支点——对对数而言就是 z = 0。（在精确意义上，无穷远也是一个支点。）支点正是多值性诞生之处：绕它一圈，函数便回不到旧值。绕一个非支点的点，则一切如故。
割开平面以选定一支
为了得到一个诚实的单值函数，我们做个约定：禁止那些惹麻烦的回路。从支点画一条延伸到无穷远的曲线，宣布它为禁区——不许越过。这条被禁的曲线就是支割线，而对数的支割线通常取负实轴。有了这道屏障，你便永远无法绕过原点，角度 theta 也就不会再漂移；把它固定在一个区间，比如 -pi < theta <= pi，就在处处选定了一个自洽的值。
这一特定选择——模乘以落在 (-pi, pi] 的角度——称为主支，记作 Log z（大写 L）或主对数。在它上面，Log z 在割线之外是一个完美的解析函数：其导数为人们熟悉的 d/dz Log z = 1/z，与第一卷完全一致，并且除割线外处处满足柯西-黎曼方程。割线并非对数本身的特征——它是你所选那一片的特征。改把割线放在正虚轴上，你便得到同样有效（但不同）的单值支。
割线让你付出什么代价？穿越它的连续性。从负实轴上某点的正上方逼近，Log z 的虚部接近 +pi；从正下方逼近，则接近 -pi。当你跨越时，函数突跳 2 pi i——正好是楼梯整整一圈的不连续。这个跳跃是真实的，你必须尊重它：绝不要让积分路径仿佛无事般跨过支割线。
复幂，以及 i^i 究竟是什么
一旦有了对数，你就有了一切幂，因为每个幂都通过它来定义：z^a = e^{a log z}，对任意复指数 a 成立。既然 log z 是多值的，z^a 一般也是多值的。这正是为什么复幂同样带有支点、需要支割线。选取主对数便给出幂的主值——计算器返回的那个——但它只是众多选择之一。
现在来看那个著名谜题。取 z = i，它的模为 1、角度为 pi/2，故 log i = i(pi/2 + 2 pi k)。于是 i^i = e^{i log i} = e^{i 乘以 i(pi/2 + 2 pi k)} = e^{-(pi/2 + 2 pi k)}。每个值都是正实数！主值（k = 0）为 e^{-pi/2}，约 0.2079。所以 i 的 i 次幂既不虚、也不神秘——它是个实数，而这惊奇完全由定义中暗藏的对数多值性所解释。
z = r e^{i theta}
log z = ln r + i (theta + 2 pi k), k = 0, +-1, +-2, ...
Log z = ln r + i theta, -pi < theta <= pi (principal)
z^a = e^{a log z}
i^i = e^{i log i} = e^{-(pi/2 + 2 pi k)} -> principal e^{-pi/2} ~ 0.2079
sqrt(z) = z^{1/2}: two values, opposite signs (branch point at 0)一个利落的检验：平方根 sqrt(z) = z^{1/2} 恰有两个值（k = 0, 1 时 e^{i pi k} 给出两个相反的符号），与你在第一卷已知的两个根吻合。它的支点仍是 z = 0，沿负实轴作割可使其单值。有理指数 p/q 给出 q 个值；无理或真正复的指数（如 i）则给出无穷多个。
让分支派上用场
支割线不是要道歉的累赘——它是工具。复方法的全部威力——前一篇关于留数定理的指南所搭建的——都依赖于沿精心选定的围道对解析函数积分；但这些函数只在你固定的某一支上解析。所以围道必须绕行以尊重割线。标准技法是钥匙孔围道：一条路径沿割线一侧进入，绕支点画一个小圆，再沿另一侧返回。
它为何划算？因为函数跨越割线时跳跃一个已知的量，沿割线上缘的积分与沿下缘的积分并不抵消——它们合成你真正想要的那个实积分的一个干净倍数。再用留数定理圈住所围的极点，便算出整条回路，稍加代数即得到一个任何初等实方法都束手无策的实积分——比如 x^{a-1}/(1+x) 从 0 到无穷的定积分，结果竟是 pi / sin(pi a)。
- 找出被积函数的支点（对数或非整数幂所在之处），并选一条割线使你的区域保持单连通。
- 构造一条紧贴割线两侧、并以小圆绕过支点的围道——一个钥匙孔。
- 利用跨越割线的已知跳跃，把上下两段与你的目标实积分联系起来。
- 对所围极点的留数求和，验证小弧与大弧趋于零，再解出实积分。
一个诚实的提醒。把一个实问题引经复平面、穿越支割线，是一种完全正当的方法，不是花招也不是作弊——每一步都由解析性与所选分支的几何所证成。但它对记账错误毫不留情：割线选错、忘了 2 pi i 的跳跃、或某条弧未能趋零，答案便会悄无声息地出错。这份纪律换来的回报，正是围道积分在本级一路许诺的那个——并继续延伸到洛朗级数、辐角原理，以及多叶区域的共形映射。