觀測模型即是科學
狀態空間模型的動力學那一半（A, W）是通用的運動物理。觀測模型（C、Q，或一條放電率法則）才是真正神經科學所在——它是你對運動皮質如何編碼意圖的主張。若這主張錯了，再精巧的濾波也救不了解碼器。所以本份指南要在編碼這一面放慢腳步。
餘弦調諧與線性觀測
經典發現是：許多運動皮質神經元的放電，正比於伸手方向與該細胞偏好方向之間夾角的餘弦。寫成與速度向量的內積，這種調諧恰好對狀態呈線性——這正是卡爾曼濾波器的 C 矩陣得以存在的原因。
\lambda_i(\mathbf{v}) = b_i + m_i \cos(\theta - \theta_i) = b_i + \mathbf{d}_i^{\top}\mathbf{v}基線 b_i、調變深度 m_i、偏好方向 theta_i；d_i 為偏好方向向量，構成神經元 i 在 C 中的那一列。
許多運動神經元在動作朝著它偏好的方向時放電最快、偏離時放慢——一條餘弦曲線。這個漂亮的形狀使放電率成為速度的簡單線性函數，恰好就是濾波器所需的觀測矩陣。
- b_i
- 該神經元的基線放電率。
- m_i
- 調變深度——它對方向的調諧有多強。
- \theta_i
- 該神經元的偏好方向。
- \mathbf{d}_i
- 偏好方向向量，構成神經元 i 在 C 中的那一列。
正是這條餘弦調諧曲線把運動皮質的放電變成線性高斯的觀測模型。
最古老的解碼器——群體向量——只是把每個細胞的偏好方向以其放電加權後相加：沒有雜訊模型、沒有正則化。OLE 加上最小平方逆；卡爾曼濾波器再加上動力學與持續更新的不確定性。相同的調諧假設，逐步更有原則的反演。
脈衝並非高斯：點過程濾波器
卡爾曼濾波器假設高斯量測雜訊。但若你的觀測是短時間格內的脈衝計數，它是一個很小的非負整數——用卜瓦松分布來建模好得多。點過程濾波器以卜瓦松似然取代線性高斯觀測，其對數放電率（通常）對狀態呈線性。
\Pr(\Delta N_i = n \mid x_k) = \frac{\big(\lambda_i(x_k)\,\Delta\big)^{n} e^{-\lambda_i(x_k)\,\Delta}}{n!}, \qquad \log \lambda_i(x_k) = \alpha_i + \boldsymbol{\beta}_i^{\top} x_k一個卜瓦松觀測搭配對數線性（GLM）放電率模型；濾波器維持高斯後驗，但以此非高斯似然更新它。
放電是離散的計數，不是平滑的高斯訊號。把每個微小時間格內的計數建模成卜瓦松分布，其速率隨狀態呈對數線性上升。濾波器維持高斯信念，但以這個放電似然來修正它。
- \Delta N_i
- 神經元 i 在該時間格內的放電計數。
- \lambda_i(x_k)
- 給定當前狀態下的瞬時放電率。
- \Delta
- 時間格的寬度。
- \alpha_i,\ \boldsymbol{\beta}_i
- 對數速率（GLM）模型中的基線與調諧權重。
這就是點過程濾波，當你從個別放電而非平滑速率解碼時的正確工具。
學習參數
在校準期間，受試者觀看或嘗試被引導的動作，產生成對的 (x_k, y_k)。你接著以神經放電對動作學回歸來擬合 C、由殘差擬合 Q；A, W 則來自動作學本身。當部分狀態確實是隱藏的——潛在因子、未觀測到的意圖——你無法直接回歸，改用期望最大化以最大似然學習參數。
\hat{C} = \Big(\textstyle\sum_k y_k\,x_k^{\top}\Big)\Big(\textstyle\sum_k x_k\,x_k^{\top}\Big)^{-1}, \qquad \hat{Q} = \frac{1}{K}\sum_k (y_k - \hat{C}x_k)(y_k - \hat{C}x_k)^{\top}調諧矩陣的普通最小平方與殘差共變異數；當通道數多於訓練樣本時，應對 Q 施加收縮。
編碼不等於解碼
一組能良好描述神經編碼的參數（C 擬合了訓練放電），未必就是閉迴路中解碼最好的那組。編碼模型是在校準時烘焙進去的假設，但調諧會在一個時段內漂移，並在使用者開始操控回饋的那一刻改變。這種不匹配，正是下一份指南要引入非線性濾波器，以及最重要的閉迴路重訓練的動機。