卡爾曼濾波器：推導與調校

線性高斯的世界

假設動力學為線性、觀測為線性、且兩種雜訊皆為高斯。此時會發生一件美妙的事：後驗永遠是高斯的，因此只需其均值 \hat{x}_k 與共變異數 P_k 即可完整描述。第一份指南中難解的貝葉斯積分，便簡化為對這兩個物件的封閉形式矩陣運算。這套運算就是卡爾曼濾波器——那個遞迴、最佳（最小均方誤差）的線性估計器。

預測步驟

預測就是把前一刻的估計推過動力學，並讓不確定性因過程雜訊 W 而增長：

\hat{x}_k^{-} = A\,\hat{x}_{k-1}, \qquad P_k^{-} = A\,P_{k-1}\,A^{\top} + W

上標減號代表先驗（量測前）的估計。

把上一步的最佳估計沿動力學向前推，猜出新狀態，並讓不確定性變大——因為單靠預測總會多添一分懷疑。

\hat{x}_k^{-}: 預測（先驗）狀態，在本步量測之前。
P_k^{-}: 該估計的預測不確定性（共變異數）。
A: 把狀態往前帶的動力學矩陣。
W: 每步加入的過程雜訊，使 P 膨脹。

這是卡爾曼濾波循環的預測那一半。

更新步驟：增益、創新項、修正

現在把量測納入。創新項 r_k 是驚訝程度——實際神經讀值與預測所期望值之間的差距。卡爾曼增益 K_k 決定要相信這份驚訝多少，狀態便據此被推移。

\begin{aligned} \text{innovation:}\quad & r_k = y_k - C\,\hat{x}_k^{-} \\ \text{gain:}\quad & K_k = P_k^{-} C^{\top}\big(C\,P_k^{-} C^{\top} + Q\big)^{-1} \\ \text{update:}\quad & \hat{x}_k = \hat{x}_k^{-} + K_k\,r_k, \qquad P_k = (I - K_k C)\,P_k^{-} \end{aligned}

增益在預測不確定性 P 與量測雜訊 Q 之間取得最佳平衡。

看看預測錯了多少（創新量），再依增益決定把估計往量測推多少——感測器可靠時就多信它，不可靠時就多信預測。

r_k: 創新量：量測減去預測的量測。
K_k: 卡爾曼增益——要往資料移動多少。
Q: 量測雜訊共變異數；Q 大則增益縮小。
P_k: 修正後更新、縮小的不確定性。

卡爾曼增益在預測不確定性 P 與量測雜訊 Q 之間取得平衡；參見創新序列。

# one Kalman step (linear-Gaussian)
def kalman_step(x, P, y, A, W, C, Q):
    # predict
    x = A @ x
    P = A @ P @ A.T + W
    # update
    r = y - C @ x                    # innovation (surprise)
    S = C @ P @ C.T + Q              # innovation covariance
    K = P @ C.T @ np.linalg.inv(S)   # Kalman gain
    x = x + K @ r
    P = (np.eye(len(x)) - K @ C) @ P
    return x, P

整個即時解碼器就是這約八行程式碼、每個時間格運行一次。

速度卡爾曼濾波器

真正驅動植入式游標的版本，是速度卡爾曼濾波器。它的狀態同時包含位置與速度，但關鍵的設計抉擇——在 BrainGate 時代吃了苦頭才學到——是讓神經元編碼速度，並以速度積分求得位置，而非直接解碼位置。

批次表親：維納濾波器與 OLE

若你完全忽略動力學，只把動作學對一段滑動的神經歷史視窗做回歸，便得到維納濾波器／最佳線性估計器——那種批次、非遞迴的解碼器，至今仍被許多實驗室當作基準線。

L^{\star} = \arg\min_{L}\; \mathbb{E}\big\lVert x_k - L\,\mathbf{y}_k \big\rVert^{2} = \Sigma_{xy}\,\Sigma_{yy}^{-1}, \qquad \hat{x}_k = L^{\star}\mathbf{y}_k

y_k 堆疊一段延遲視窗的神經特徵；維納解是一個正則化的共變異數比值。

卡爾曼濾波的批次表親：不做遞迴，而是直接擬合一個矩陣，把一段神經特徵視窗映射到狀態，做法是以這些特徵回歸狀態。答案是一個共變異數比值。

\mathbf{y}_k: 堆疊起來的一段延遲神經特徵視窗。
L^{\star}: 從特徵到狀態的最佳線性映射。
\Sigma_{xy}: 狀態與特徵之間的交叉共變異數。
\Sigma_{yy}^{-1}: 特徵共變異數的反元素，用來白化輸入。

這就是維納濾波／最佳線性估計器——當特徵數多於樣本時，要對 \Sigma_{yy}^{-1} 正則化。

卡爾曼濾波器本質上是這個想法的遞迴、感知動力學的升級版：它不是固定回歸，而是維持一個信心度隨時調整的持續估計。實務上兩者在離線解碼時常表現相近——卡爾曼濾波器的優勢展現在閉迴路，那裡它的平順性與積分器行為才真正重要（見第四份指南）。

實務中的濾波器調校

擬合即是系統辨識：由訓練動作學的自相關估計 A, W，並以神經特徵對動作學回歸來估計 C, Q（見下一份指南）。但 W 與 Q 實際上是超參數——許多團隊會刻意把 Q 放大或把 W 縮小到擬合值之外，以換取額外的平順，因為在開迴路資料上統計最佳的濾波器，往往不是使用者閉迴路時感覺最好的那一個。