最小範數估計的推導
分布式求解器的原型，會在所有契合資料的電流當中，挑出總能量 \lVert\mathbf{j}\rVert^2 最小的那一個。這唯一的選擇——化為 ℓ₂ 懲罰的奧坎剃刀——把不適定的逆問題變成一個穩定的線性估計器。
\hat{\mathbf{j}} = \arg\min_{\mathbf{j}}\;\lVert \mathbf{v}-\mathbf{L}\mathbf{j}\rVert^{2} + \lambda\lVert\mathbf{j}\rVert^{2}（吉洪諾夫）正則化的最小範數目標函數：資料契合度，加上以 λ 加權的 ℓ₂ 能量懲罰。
最小範數估計在所有契合資料的源型樣中，挑出總能量最小的那一個。\lambda 項防止它去追逐雜訊。這正是把「契合資料的最簡解釋」精確化。
- \lVert\mathbf{v}-\mathbf{L}\mathbf{j}\rVert^{2}
- 資料契合項。
- \lVert\mathbf{j}\rVert^{2}
- 源的總能量——ℓ₂（最小範數）懲罰。
- \lambda
- 決定偏好低能量解的強度。
令梯度為零，便得到一個封閉解——一個單一矩陣，即逆算子 \mathbf{G}，你把它施加於每一個時間取樣點的資料上。由於它是線性且可預先計算的，MNE源成像在執行時，每個取樣點基本上只花一次矩陣乘法。
\hat{\mathbf{j}} = \mathbf{L}^{\top}\bigl(\mathbf{L}\mathbf{L}^{\top} + \lambda\mathbf{I}\bigr)^{-1}\mathbf{v} \;\equiv\; \mathbf{G}\,\mathbf{v}最小範數估計的封閉解。若有雜訊共變異數 C，則以 C 取代單位矩陣（白化）；若有源共變異數先驗 R，則推廣為 G = R Lᵀ (L R Lᵀ + λC)⁻¹。
最小範數解有個乾淨的公式——不需迭代。它打包成單一「逆運算子」 \mathbf{G}，你只要拿資料去乘它。把單位矩陣換成雜訊共變異數即為白化；再加上源先驗則能進一步推廣。
- \mathbf{L}^{\top}
- 導程場的轉置，把感測器映射回源。
- (\mathbf{L}\mathbf{L}^{\top}+\lambda\mathbf{I})^{-1}
- 正則化的逆，使計算保持穩定。
- \mathbf{G}
- 所得的逆運算子：\hat{\mathbf{j}}=\mathbf{G}\mathbf{v}。
- \lambda
- 正則化強度。
G = R @ L.T @ inv(L @ R @ L.T + lam * C) # inverse operator, precomputed once j_hat = G @ v # apply per time sample (a matrix multiply)
深度偏差與加權校正
樸素的 MNE 有個惡名昭彰的缺陷：由於深層源投射到頭皮的訊號微弱（其導程場的行很小），最小化能量便偏好用淺層電流去解釋資料。若不校正，MNE 會把一切都塗抹到最靠近感測器的皮質表面上——這是一種系統性的深度偏差，而非隨機誤差。
標準的解法是深度加權：透過源共變異數 \mathbf{R} 放大深層源的先驗變異數，使估計器不再只因為它們距離遠就懲罰它們。這是一個一般教訓的具體實例：\mathbf{R} 正是你把解剖與生理先驗知識注入線性逆問題的地方。
雜訊正規化：dSPM 與 sLORETA
對付深度偏差更乾淨的辦法，是把估計標準化——把每個源的振幅除以它自身估計的變異度，將原始的電流振幅轉換成統計圖。有兩種標準占主導。
dSPM（動態統計參數映射）在每個源上，把 MNE 估計除以該處投影後的雜訊標準差，得到一個類似 z 或 t 圖的雜訊正規化統計量。sLORETA則改以估計自身的解析度（解析度矩陣的對角元素）來標準化，並以「在無雜訊情形下，對單一點源具有零定位誤差」而聞名。
\hat{s}_k = \frac{\hat{\mathbf{j}}_k}{\sqrt{[\mathbf{S}]_{kk}}},\qquad \mathbf{S}=\begin{cases}\mathbf{G}\,\mathbf{C}\,\mathbf{G}^{\top} & \text{(dSPM: projected noise)}\\[4pt] \mathbf{G}\,\mathbf{L} & \text{(sLORETA: resolution)}\end{cases}兩種方法都把原始估計除以某個源專屬的正規化因子 [S]_kk；它們僅在 S 為何有所不同——投影後的雜訊共變異數（dSPM），或估計器的解析度（sLORETA）。
原始最小範數地圖偏向表面。這些方法透過把每個源的估計除以它自己的雜訊或解析度水準來校正，使深、淺源在公平的基準上被評判。兩種方法只在除以什麼上有所不同。
- \hat{s}_k
- 源 k 處經正規化、可作統計比較的估計。
- \hat{\mathbf{j}}_k
- 該處的原始最小範數估計。
- [\mathbf{S}]_{kk}
- 源專屬的正規化因子。
- \mathbf{S}
- 投影後雜訊共變異數 \mathbf{G}\mathbf{C}\mathbf{G}^{\top}（dSPM）或解析度 \mathbf{G}\mathbf{L}（sLORETA）。
選擇正則化參數 λ
每一種分布式方法都有一個主導結果的旋鈕：正則化權重 λ，它設定了「契合度 vs. 先驗」的取捨。太小，雜訊爆炸（不適定性回來了）；太大，估計塌向零並過度平滑。把 λ 大致調對，比在各種 MNE 變體之間做選擇更重要。
- 從基線／刺激前資料估計感測器雜訊共變異數 C——λ 只有相對於雜訊水準才有意義。
- 由訊噪比目標設定 λ：在白化後的資料上，常見選擇是 λ ≈ 1 / SNR²，使正則化隨資料的雜訊程度而縮放。
- 或掃描 λ 並使用 L 曲線——在對數座標上畫出殘差契合度對解範數的關係，並取所得「L」形的轉角，該處兩者同時都小。
- 以交叉驗證做合理性檢查，或確認殘差 v − L ĵ 看起來像雜訊、而非殘留的結構化訊號。
解析度與洩漏：誠實的極限
由於每一個線性逆問題都是 \hat{\mathbf{j}}=\mathbf{G}\mathbf{v}=\mathbf{G}\mathbf{L}\mathbf{j}，其乘積 \mathbf{R}=\mathbf{G}\mathbf{L}——即解析度矩陣——精確地告訴你估計與真相之間的關係。若 \mathbf{R}=\mathbf{I}，你能完美還原源；現實中它是一個模糊、非對角的矩陣，而且早在你蒐集任何資料之前，就已完全可從正問題模型得知。
\hat{\mathbf{j}} = \mathbf{G}\mathbf{L}\,\mathbf{j} = \mathbf{R}\,\mathbf{j}解析度矩陣 R = GL 把真實源映射到估計源。它的行是點擴散函數（一個源如何在圖上塗抹開來）；它的列是串擾函數（其他源如何洩漏進位置 k 的估計）。
一項誠實檢查：你得到的估計是真實源經 \mathbf{R}=\mathbf{G}\mathbf{L} 模糊後的結果。若 \mathbf{R} 是單位矩陣你就能完美還原源；現實中它的行顯示一個源如何塗抹開來，列顯示鄰近源如何洩漏進來。
- \mathbf{R}=\mathbf{G}\mathbf{L}
- 把真實源映射到估計源的解析度矩陣。
- \text{columns}
- 點擴散函數——單一源如何在圖上塗抹開來。
- \text{rows}
- 串擾函數——其他源如何洩漏進位置 k 的估計。
\mathbf{R} 的非對角結構就是源洩漏：某位置的活動會滲入他處的估計。這不是外觀上的假影——它正是源空間連結估計可能虛假偏高的原因，因為兩個相鄰的估計源共享了被洩漏的訊號，即使並無耦合也看起來像是耦合。校正洩漏，正是通往最後一篇的橋樑。