跨頻耦合與頻譜連結性

從單通道到兩通道：交叉譜

頻域中的連結性從交叉譜密度出發，它是兩通道間、依頻率解析的共變異。其模詢問兩者是否在某頻率共享功率；其相位詢問以何種延遲共享。其餘一切——同調、相位鎖定、Granger 式測度——都由它建構而來。

S_{xy}(f) = \mathbb{E}\!\left[X(f)\,Y^{*}(f)\right] = |S_{xy}(f)|\,e^{i\theta_{xy}(f)}

交叉譜密度是一個複數量：模與相位。

要衡量兩通道逐頻率的關係，就把一個通道的傅立葉轉換乘上另一個的共軛。結果是複數：它的大小說明它們在該頻率共變的強度，它的角度說明它們的相位差。

S_{xy}(f): 通道 x 與 y 之間的交叉譜密度。
X(f),\,Y^{*}(f): 它們的傅立葉轉換，第二個取共軛。
|S_{xy}(f)|: 在頻率 f 共享活動的強度。
\theta_{xy}(f): 它們在該頻率的相位差。

同調及其隱憂

平方模同調以兩個自譜對交叉譜歸一化，在每個頻率給出一個介於 [0,1]、類似相關係數的數。它是頻率特定耦合的自然線性測度——但會被體積傳導灌水：單一源被兩個電極看到，就會產生近乎完美的零延遲同調，而其實根本沒有任何溝通。

C_{xy}(f) = \frac{|S_{xy}(f)|^2}{S_{xx}(f)\,S_{yy}(f)} \in [0,1]

平方模同調介於 0 與 1 之間。

同調把交叉譜歸一化成乾淨的 0 到 1 分數：兩通道在頻率 f 的活動有多少是共享的。1 代表它們在該頻率完全同步；0 代表在那裡毫無關聯。

C_{xy}(f): 頻率 f 的平方模同調。
|S_{xy}(f)|^{2}: 共享（交叉）功率的平方。
S_{xx}(f),\,S_{yy}(f): 各通道在該頻率自身的功率。
[0,1]: 取值範圍——兩通道共享的變異數比例。

抵抗零延遲洩漏的連結性

體積傳導的解方是把零延遲交互作用打折。相位鎖定值測量不論振幅的相位一致性；同調的虛部只保留瞬時混合無法產生的異相分量；而相位滯後指數（與加權 PLI）只計相位差的正負號，對共享的零延遲源免疫。

\mathrm{PLV} = \left|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} e^{\,i\,\Delta\phi_n}\right|, \qquad \Delta\phi_n = \phi_x(n) - \phi_y(n)

相位鎖定值：跨試驗相位差有多一致。

相位鎖定值忽略振幅，只問：兩訊號的相位差在各試次間是否一致？把所有試次的相位差箭頭排起來取平均——若它們指向同一方向（長度接近 1），訊號就是相位鎖定的。

\mathrm{PLV}: 相位鎖定值，介於 0 與 1。
\Delta\phi_n: 第 n 個試次的相位差。
e^{i\Delta\phi_n}: 沿該相位差指向的單位箭頭。
\tfrac{1}{N}\sum: 對 N 個試次取平均。

跨頻耦合：相位驅動振幅

相位–振幅耦合（PAC）詢問慢節律的相位是否調變快節律的振幅——最典型的例子是海馬迴中 theta 相位組織 gamma 叢發。操作上：帶通到慢頻帶並取其 Hilbert 相位；帶通到快頻帶並取其 Hilbert 振幅；再量化振幅如何隨相位分布。

\mathrm{MI} = \frac{D_{\mathrm{KL}}\!\big(P \,\|\, U\big)}{\log N_{\mathrm{bins}}} = \frac{\log N_{\mathrm{bins}} + \sum_j P(\phi_j)\log P(\phi_j)}{\log N_{\mathrm{bins}}}

Tort 調變指數：振幅隨相位分布相對均勻分布的歸一化 KL 散度。

衡量慢節律的相位是否控制快節律的振幅（相位–振幅耦合）。把快波振幅依慢波相位分箱：若振幅在各相位間平坦則無耦合；若在某些相位出現峰值，分布就偏離均勻，KL 散度即衡量這種偏離。

\mathrm{MI}: 調變指數——0 代表無耦合。
D_{\mathrm{KL}}(P\,\|\,U): 振幅隨相位分布 P 相對均勻分布 U 的 KL 散度。
P(\phi_j): 相位箱 j 中的平均快波振幅。
N_{\mathrm{bins}}: 相位箱的數目——用來歸一化分數。

# Phase-amplitude coupling (Tort modulation index)
phase = np.angle(hilbert(bandpass(x, f_lo)))   # slow-band phase
amp   = np.abs(hilbert(bandpass(x, f_hi)))      # fast-band amplitude
P = np.array([amp[(phase >= b0) & (phase < b1)].mean()
              for b0, b1 in phase_bins])        # mean amp per phase bin
P /= P.sum()                                    # normalize to a distribution
MI = (np.log(n_bins) + np.sum(P * np.log(P))) / np.log(n_bins)

由 Hilbert 相位與振幅計算 Tort 調變指數。

非正弦陷阱

這裡就是讓許多 PAC 主張被撤回的失效模式：神經節律往往是非正弦的（mu 呈拱形、皮質慢波呈鋸齒）。非正弦振盪帶有諧波，而尖銳的波形邊緣會把寬頻振幅集中在一個一致的相位上——每個 PAC 估計器都會把它報告成耦合，即使其實只存在一個節律。

同樣的告誡適用於所有這些測度：同調、PLV 與 PAC 都是對二階與更高階頻譜結構的描述。它們是否反映溝通，是關於機制的主張，光靠統計量無法定案。