Welch：以平均馴服變異
Welch 法把紀錄切成（通常重疊的）多個區段，對每段加窗、計算週期圖，再取平均。平均 K 個近似獨立的區段，變異約降為 1/K，而估計（除了視窗造成的洩漏外）仍漸近無偏。
\hat{S}_W(f) = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{U N_s}\left|\sum_{n=0}^{N_s-1} w_n\, x_n^{(k)}\, e^{-i2\pi f n}\right|^2, \qquad U=\tfrac{1}{N_s}\sum_n w_n^2Welch 加窗平均週期圖；U 為視窗功率的歸一化。
Welch 法藉由把訊號切成重疊的加窗片段、各自算週期圖再平均，來馴服週期圖的雜亂。平均 K 個雜亂估計可把變異數約降為 1/K——以頻率解析度換取更平滑、更可信的頻譜。
- \hat{S}_W(f)
- Welch 的平均頻譜估計。
- K
- 被平均的片段數。
- w_n
- 施加於每個片段以減少頻譜洩漏的視窗。
- U
- 視窗功率的歸一化因子。
你買到的解析度與你失去的解析度
Welch 的變異降低並非免費：把 T 秒的紀錄切成 K 段長度 T/K 的區段，會把頻率解析度粗化到 \Delta f \approx K/T。這正是第一篇的偏誤–變異旋鈕，如今有了一個你能轉的把手。對固定的一段紀錄，你是在「一張銳利但毛草的頻譜」與「多張平滑但模糊、再平均起來的觀測」之間做選擇。
多錐：不丟棄資料的平均
Welch 靠縮短區段來捨棄解析度。多錐估計（由 Thomson 提出）則保留完整長度 T，改為對同一區段施加數個正交的錐再平均。這些錐就是離散扁球序列（DPSS，或 Slepian 序列）：在所選頻率半頻寬 W 內能量最集中的唯一一組序列。每個錐給出一個近似獨立的「本徵譜」，其平均即多錐估計。
\hat{S}_{MT}(f) = \frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}\left|\sum_{n=0}^{N-1} v_n^{(k)}\, x_n\, e^{-i2\pi f n}\right|^2多錐估計：K 個正交 Slepian 錐本徵譜的平均。
多錐法不切分資料（因而不損失解析度），而是把整段紀錄乘上數個特別設計的正交視窗（錐），各取一個頻譜再平均。你得到變異數的降低，卻不丟棄任何資料。
- \hat{S}_{MT}(f)
- 多錐頻譜估計。
- v_n^{(k)}
- 第 k 個 Slepian 錐——一個正交視窗。
- K
- 被平均的錐數。
- x_n
- 資料樣本。
時間–頻寬：主宰一切的單一數字
設計參數是時間–頻寬乘積 NW（常記為 p），它固定了功率被刻意平滑的頻譜半頻寬 W。給定 NW，你能平均的良好集中錐數為 K = 2NW - 1。NW 越大，錐越多、變異越低，但平滑頻寬 2W 越寬，於是解析度越粗、在尖峰附近偏誤越大。這把偏誤–變異權衡濃縮成單一旋鈕。
W = \frac{NW}{N\,\Delta t} = \frac{NW}{T}, \qquad K = 2\,NW - 1 \quad\Rightarrow\quad NW=4 \;\Rightarrow\; K=7半頻寬與可用錐數；例如 NW=4 給出 7 個錐，平滑約 \pm 4/T Hz。
單一旋鈕——時頻寬乘積 NW——掌控整個多錐取捨：NW 越大，在越寬的頻帶上平滑，並可用更多錐（變異數更小），代價是頻率銳利度。
- NW
- 時頻寬乘積——主旋鈕。
- W
- 所得頻率平滑的半頻寬。
- T
- 紀錄時長。
- K = 2NW-1
- 可用且能量集中的錐數。
對一段紀錄選 NW=4 給出 K=7 個錐，平滑約 \pm 4/T Hz。
- 依你的科學問題選定所需的頻譜解析度（半頻寬 W）。
- 由紀錄長度 T 設定 NW = W\cdot T。
- 使用 K = 2NW-1 個錐（若最後一兩個錐的集中本徵值遠低於 1，可捨棄）。
多錐實務：誤差棒與線頻分量
由於多錐估計是 K 個本徵譜的平均，你幾乎免費就得到內部的不確定性估計：對各錐做刀切法（jackknife）可得 \log \hat{S} 的信賴區間。Thomson 的諧波 F 檢定利用這些本徵譜，在每個頻率檢定是否存在純正弦——這對辨識並移除電源線雜訊或 SSVEP 分量、又不必把真正的神經功率一起陷波掉，極為有用。