非平穩性問題
EEG 解碼的長期詛咒，是訊號不會乖乖待著。今天與明天之間——或此受試者與彼受試者之間——電極阻抗漂移、配置偏移一毫米、人的警醒程度時高時低。統計上這叫共變量偏移：即使任務不變，特徵的分布也會移動，昨天訓練的解碼器今天便悄悄腐壞。傳統上，你得在每個場次開頭做冗長的重新校準來對抗它。
黎曼幾何為這種漂移中最主要的部分——共變異數分布的平均偏移——提供了一個便宜得驚人的解法，而且完全不需要標籤。
黎曼對齊（重新置中）
這個想法只是一行幾何。算出某場次共變異數的 Fréchet 平均，再用該平均把每個共變異數白化。這會映射每個場次，使其平均變成單位矩陣——流形的原點。對每個場次或受試者都這麼做，它們的點雲便在共同中心重疊。
\tilde{C}_i = \bar{C}^{-1/2} \, C_i \, \bar{C}^{-1/2}, \qquad \text{so that} \quad \operatorname{Fr\acute{e}chet\text{-}mean}\{ \tilde{C}_i \} = I重新置中：以各場次自身的 Fréchet 平均白化每個試次，使所有場次共享單位矩陣作為中心。
不同場次與不同受試者會漂移到不同的「中心」。以各場次自身的平均白化每個試次，使每個場次都重新置中到單位矩陣——如此在某場次訓練的解碼器就能套用到另一場次。
- \bar{C}
- 該場次自身的 Fréchet 平均共變異數。
- \bar{C}^{-1/2}
- 其反平方根——白化變換。
- \tilde{C}_i
- 重新置中後的試次共變異數。
- I
- 單位矩陣——所有場次共享的新中心。
這個黎曼對齊是跨場次轉移中最簡單也最強的技巧之一。
因為 AIRM 是仿射不變的，這個白化完全不扭曲場次內的幾何——它只是把整團點雲滑到原點。在某場次或受試者的重新置中資料上訓練的解碼器，如今幾乎不需校準就能套用到另一者的重新置中資料。這正是 黎曼對齊與流形遷移學習的核心，而且關鍵在於它是非監督式的：算某場次的平均只需要它未標籤的共變異數。
黎曼 Potato：線上品質控管
同樣的幾何給了一個優美簡單的線上假影偵測器。算出乾淨共變異數的 Fréchet 平均，以及它們到該平均之距離的離散程度。落得離平均太遠的新試次——咬牙、大幅眼動、電極鬆脫——就被標記並丟棄。那個「好」區域是流形上一團模糊的斑塊，這正是它被暱稱為 黎曼 potato 的原因。
z_i = \frac{\delta_R(C_i, \bar{C}) - \mu}{\sigma}, \qquad \text{reject the trial if } \; z_i > z_{\text{th}}Potato 準則：每個試次到平均之距離的黎曼 z 分數；超過門檻（例如 z_th ≈ 2.5）即剔除。
一個上線的品質過濾器：以每個試次到正常中心的黎曼距離作 z 分數評分。離譜地跑太遠的試次就是假影，直接丟掉。
- \delta_R(C_i, \bar{C})
- 某試次到平均的黎曼距離。
- \mu,\ \sigma
- 該距離在乾淨資料上的平均與分散。
- z_i
- 該試次距離的 z 分數。
- z_{\text{th}}
- 剔除門檻，例如約 2.5。
黎曼馬鈴薯會剔除任何距離 z 分數超過門檻的試次。
它是非監督式的、不需假影樣板、可即時運行，而且——再次拜仿射不變性所賜——當配置或增益改變時不需重新調整。它是黎曼流程中自動品質控管的標準第一道防線。
Log-Euclidean 捷徑
AIRM 的威力要付運算代價：每個距離、每次 Karcher 迭代都牽涉矩陣平方根與求逆。對非常快的線上迴圈，有一個更便宜的度量。Log-Euclidean 度量把每個共變異數一次性透過矩陣對數映到一個平坦空間，在那裡平均就是各對數的算術平均、距離就是普通的 Frobenius 範數——兩者都有封閉形式，無需迭代。
\delta_{LE}(C_1, C_2) = \lVert \log C_1 - \log C_2 \rVert_F, \qquad \bar{C}_{LE} = \exp\!\Big( \tfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log C_i \Big)Log-Euclidean 距離與平均：前置一次矩陣對數，之後一切都是對數域裡的線性代數。
一種快速近似：對每個共變異數只取一次矩陣對數，之後所有距離與平均都變成對數空間裡的普通線性代數。比完整的黎曼度量便宜，卻保有大部分好處。
- \log C
- 矩陣對數，每個試次只算一次。
- \delta_{LE}(C_1, C_2)
- Log-Euclidean 距離——對數空間裡的 Frobenius 距離。
- \bar{C}_{LE}
- Log-Euclidean 平均：把對數平均後，再取指數變回來。
- \exp(\cdot)
- 把對數還原的矩陣指數。
Log-Euclidean 度量失去了仿射不變性，但跑得快得多——適合即時或超大資料集。