在流形上分類：MDM、Karcher 平均與切空間技巧

最近平均法（MDM）

最簡單的流形分類器直接得近乎令人難為情。訓練時，為每個類別算出一個平均共變異數。要分類一段新試次的共變異數時，就把它指派給 AIRM 距離最近的那個類別平均。這就是整個最近平均法（MDM）演算法——沒有空間濾波器要學、沒有特徵要挑、沒有正則化參數要網格搜尋。

\hat{y} = \arg\min_{k \in \{1,\dots,K\}} \; \delta_R\big( C, \, \bar{C}_k \big)

MDM 決策規則：以黎曼距離下最近的類別平均共變異數為試次貼標籤。

最簡單的流形分類器：先各算一次每個類別的平均共變異數，再以新試次最接近哪個類別平均來貼標籤——用彎曲的黎曼距離來量。

C: 待分類試次的共變異數。
\bar{C}_k: 類別 k 的平均共變異數。
\delta_R: 用來判斷接近程度的黎曼距離。
\hat{y}: 預測出的類別標籤。

這個最小距離至平均規則，除了計算各類別平均外不需任何訓練。

因為 AIRM 是仿射不變的，MDM 便免費繼承了這份不變性：它不需要 CSP、不需要重新參考、不需要各場次的增益正規化。這正是為何裸的 MDM 作為基準如此難以超越，且對極小訓練集如此寬容——每個類別只要寥寥幾個試次，你就已能估出一個堪用的平均。

Fréchet（Karcher）平均

MDM 藏了一個真正微妙之處：一組共變異數矩陣的平均是什麼？不是算術平均（會膨脹、幾何錯誤）。正確的物件是 Fréchet 平均——它是使「到所有樣本之測地線距離平方和」最小的那個點。這是「最能代表這團點雲的位置」在流形上的版本。

\bar{C} = \arg\min_{C \succ 0} \; \sum_{i=1}^{N} \delta_R^2\big( C, \, C_i \big)

Fréchet／Karcher 平均把質心推廣到 SPD 流形。一般沒有封閉形式（除非 N=2 或矩陣彼此可交換）。

彎曲空間上的「平均」共變異數，是使到所有試次的平方黎曼距離總和最小的那一點——就像普通平均使平方距離最小，只是這裡尊重幾何。通常靠迭代求得。

C_i: 被平均的各個試次共變異數。
\bar{C}: 它們在流形上的 Fréchet／Karcher 平均。
\delta_R^2: 被加總的平方黎曼距離。

Karcher 平均一般沒有封閉形式，除非只有兩個矩陣、或矩陣彼此可交換。

與平坦平均不同，這裡沒有封閉形式，但有一個簡單快速的定點迭代：反覆以目前估計白化、在（平坦的）切空間中平均樣本、再把結果映射回流形。它只需寥寥幾次迭代就收斂，因為 SPD 流形具非正曲率，保證了唯一的平均。

以共變異數的算術平均初始化平均值。
以目前平均把每個樣本白化並取矩陣對數——這些就是目前估計處的切向量。
平均這些切向量（既然它們已是平坦的，就是普通的歐氏平均）。
把平均後的切向量映射回流形（矩陣指數，再解白化）以更新平均值。
重複直到切空間步長的範數低於容忍值——通常只需幾輪。

def karcher_mean(Cs, tol=1e-9, max_iter=50):
    Cbar = mean(Cs, axis=0)              # arithmetic-mean init
    for _ in range(max_iter):
        E  = sqrtm(Cbar); Einv = inv(E)  # Cbar^{1/2}, Cbar^{-1/2}
        # average the tangent vectors at Cbar
        S = mean([logm(Einv @ Ci @ Einv) for Ci in Cs], axis=0)
        Cbar = E @ expm(S) @ E           # exp-map back to the manifold
        if norm(S) < tol:
            break
    return Cbar

Fréchet 平均的 Karcher-flow 定點迭代——正是 MDM 與重新置中的運算核心。

切空間技巧

MDM 穩健但僵硬——它只比較到各平均的距離。要把線性分類器的完整武器庫（LDA、邏輯斯迴歸、SVM）帶到共變異數特徵上，我們利用一個觀察：彎曲流形放大來看是平的。挑一個參考點——所有訓練資料的 Fréchet 平均——把每個共變異數投影到那裡的平坦切空間。投影後的點又變回普通的歐氏向量，於是任何分類器都能上場。

\mathbf{s}_i = \operatorname{vech}_{\!*}\!\Big( \log\!\big( \bar{C}^{-1/2} C_i \, \bar{C}^{-1/2} \big) \Big) \; \in \; \mathbb{R}^{\,n(n+1)/2}

在參考平均 C̄ 處的切空間投影：白化、取對數，再把上三角向量化（非對角元以 √2 加權以保持範數）。

把平均附近的彎曲流形攤平成一個普通的向量空間，如此就能接上 LDA 或 SVM 等標準分類器。以平均白化、取對數，再把矩陣展開成向量。

\bar{C}^{-1/2} C_i \, \bar{C}^{-1/2}: 以參考平均白化每個試次。
\log(\cdot): 從彎曲流形映射到平坦的切空間。
\operatorname{vech}_{\!*}: 把上三角向量化，非對角元以 \sqrt{2} 加權以保持範數。
\mathbf{s}_i: 試次 i 由此得到的平坦特徵向量。

這個切空間投影讓你保有流形的好處，同時能用任何現成的分類器。

投影向量的維度是 n(n+1)/2——22 個通道就是 253 個特徵，對正則化邏輯斯迴歸或收縮 LDA 而言是舒適的規模。這條「切空間＋線性分類器」流程，常稱為切空間分類器，是黎曼 BCI 的準確度主力。線性化只在參考點附近準確，但這無妨：你的資料點雲就落在自身平均周圍，而第四篇的重新置中會讓每個場次都停靠在那裡。

MDM 還是切空間——如何選

一條務實的經驗法則。資料稀少、需要許多類別、可解釋性與穩健性比最後幾個百分點的準確度更重要、以及成本微不足道的線上使用場合，就用 MDM。當你有足夠試次來妥善擬合一個正則化線性模型、且追求最高準確度時，就用切空間分類器。介於兩者之間的是 Fisher 測地線 MDM（FgMDM），它插入一個測地線濾波／LDA 步驟以銳化類別分離，同時保留 MDM 的結構。