藉特徵分解定義的矩陣函數
黎曼方法的一切，都由三個矩陣函數建構而成——平方根、逆、對數——而它們的定義方式都相同。任何 SPD 矩陣都有特徵分解 C = U \Lambda U^{\top}，其中 U 是正交的特徵向量，\Lambda 對角線上是嚴格為正的特徵值。套用一個矩陣函數的方式，就是變換特徵值而保持特徵向量不動。
f(C) = U \, f(\Lambda) \, U^{\top}, \qquad \log C = U (\log \Lambda) U^{\top}, \qquad C^{1/2} = U \Lambda^{1/2} U^{\top}矩陣函數只作用在特徵值上。正定性保證對數為實數、平方根唯一且仍為 SPD。
要對矩陣套用對數或平方根這類函數，就先轉到它的自然座標軸，對每個特徵值套用該函數，再轉回來。正定性保證這一切定義良好——不會出現對負數取對數。
- U
- 特徵向量——矩陣自身的自然座標軸。
- \Lambda
- 由特徵值構成的對角矩陣。
- f(\Lambda)
- 對每個特徵值分別套用函數 f。
- \log C,\ C^{1/2}
- 矩陣對數與矩陣平方根。
這些矩陣對數與指數運算是後續每條黎曼公式的主力。
仿射不變黎曼距離
SPD 流形上的正典距離是仿射不變黎曼度量（AIRM）。它在兩個共變異數之間的測地線距離有封閉形式：用第一個把第二個白化、取矩陣對數、再量它的 Frobenius 範數。
\delta_R(C_1, C_2) = \big\lVert \log\!\big( C_1^{-1/2} C_2 \, C_1^{-1/2} \big) \big\rVert_F = \Big( \sum_{i=1}^{n} \log^2 \lambda_i \Big)^{1/2}AIRM 測地線距離，其中 λᵢ 是 C₁⁻¹C₂ 的特徵值（即這對矩陣的廣義特徵值）。
從物理角度讀右邊的形式。\lambda_i 是 C_1^{-1} C_2 的特徵值——兩試次沿每個共同方向的變異數比值。若兩試次完全相同，每個比值都是 1、每個對數都是 0、距離為 0。某方向上 C_2 的變異數是兩倍，與另一方向上是一半，貢獻相同——因為 \log 2 與 \log \tfrac{1}{2} 大小相等。這個度量量測的是乘性差異，對於活在比值尺度上的功率特徵，這正好切中要害。
錐上的測地線
兩個共變異數之間的最短路徑，不是直線 C_1 + t(C_2 - C_1)——那條弦甚至可能離開錐體。真正的測地線沿流形彎曲，且在每個 t 都保持 SPD。
\gamma(t) = C_1^{1/2} \big( C_1^{-1/2} C_2 \, C_1^{-1/2} \big)^{t} \, C_1^{1/2}, \qquad t \in [0, 1]從 C₁（t=0）到 C₂（t=1）的 AIRM 測地線。中點 t=½ 即這對矩陣的幾何平均。
兩個共變異數矩陣之間最短的彎曲路徑。讓 t 從 0 滑到 1，就能把 C_1 平滑地變形成 C_2，而正中點恰好是它們的幾何平均。
- t
- 沿路徑的位置，從 0 到 1。
- \gamma(t)
- 路徑上位置 t 處的共變異數矩陣。
- C_1^{1/2}
- 把路徑框在 C_1 周圍的平方根。
- t = \tfrac{1}{2}
- 中點——這對矩陣的幾何平均。
在 t=0 你位於 C_1，t=1 位於 C_2，t=\tfrac12 則位於不膨脹的平均。
令 t = \tfrac{1}{2}，\gamma 便回傳兩矩陣的幾何平均——即第一篇那個無膨脹的中心。同一個內插也是第三篇迭代平均與切空間投影的基礎，所以測地線不是花絮：它正是後續每個演算法在背後默默執行的運算。
仿射不變性——真正回本的性質
以下就是這個度量命名所依據的性質，也是整條路徑存在的理由。
\delta_R\big( A C_1 A^{\top}, \; A C_2 A^{\top} \big) = \delta_R(C_1, C_2), \qquad \forall A \in GL(n)仿射（合同）不變性：對感測器施加任何可逆線性變換，都不改變任何一個 AIRM 距離。
黎曼距離對感測器的任何可逆重新混合都無動於衷：重新參考、重新縮放，或線性重組通道，每一個距離都原封不動。這正是解碼器能跨設備轉移的原因。
- A
- 對感測器施加的任何可逆線性變換。
- A C A^{\top}
- 共變異數矩陣在 A 下如何變換。
- GL(n)
- 所有可逆 n\times n 矩陣構成的群。
- \delta_R
- 黎曼距離，不受 A 影響。
換成不同的放大器增益或參考蒙太奇，分類器的幾何毫髮無傷——這對跨場次穩健性是巨大的優勢。
合同變換 C \mapsto A C A^{\top} 恰恰就是「量測改變」所做的事：重新參考、各通道增益差異、不同的電極配置，或皮質源抵達頭皮時那個未知的線性混合。AIRM 對這一切都視而不見。因此，建立在 AIRM 距離上的解碼器，會自動對一大類困擾 EEG 的擾動保持不變——不用明確校正、沒有校準項，這一切都內建在幾何裡。
代價：運算與估計
天下沒有白吃的午餐。每個距離都需要一次特徵分解，因此每個矩陣要花 O(n^3)——對動作想像 EEG 常見的數十個通道無妨，但對高密度或 ECoG 陣列就是實際隱憂（第五篇）。更微妙的是，這個度量只有在 C 真正正定時才有意義，而這需要一個好的估計。
當時間取樣點相對於通道數偏少時，原始樣本共變異數會病態或奇異。標準的補救是 Ledoit–Wolf 收縮：以資料驅動的份量把樣本共變異數往「縮放後的單位矩陣」拉，保證正定並穩定後續每一次對數與求逆。實務上，共變異數估計中的收縮步驟並非可選——它正是讓整台黎曼機器在數值上維持存活的關鍵。