演化的狀態
把動力觀點形式化為流形上的狀態空間模型：潛在狀態 \mathbf{x} 在內部動力學矩陣 A 下演化，並不時受輸入 \mathbf{u} 驅動。在伸手的快速階段，運動皮質近乎自主運作——動力學 A 主導，輸入主要只設定起點。A 的特徵值讀出這部機器的行為：虛部代表旋轉，實部代表衰減或增長。
\dot{\mathbf{x}}(t) = A\,\mathbf{x}(t) + B\,\mathbf{u}(t)在內部動力學 A 與偶發輸入 \mathbf{u} 下的潛在群體狀態；肌肉指令是 \mathbf{x} 的線性讀出。
群體狀態在自身的內部動力學 A 下演化，偶爾被外部輸入 \mathbf{u} 推一下；肌肉讀出的是這個狀態的一個簡單線性函數。動作是被生成出來的，而不只是被表徵。
- \mathbf{x}(t)
- 潛在的群體狀態；\dot{\mathbf{x}} 是它的變化。
- A
- 內部動力學矩陣。
- B\,\mathbf{u}(t)
- 偶發的外部輸入如何進入狀態。
一段短暫輸入設定初始狀態；接著內部動力學便展開整個伸手——這是循環網路觀點。
準備期作為初始條件
動作之前，準備期活動把狀態安置到一個最佳子空間，使動力學一旦展開便能產生正確的肌肉樣式。關鍵在於，準備沿著輸出零空間維度變化——那些尚未驅動肌肉的神經元組合——因此在計畫載入時手臂保持不動。接著一個在各伸手方向間幾乎一致的巨大條件無關訊號觸發由持穩到移動的轉換。這兩種現象都不符合純表徵的說法；卻都自然地從動力學觀點導出。
旋轉動力學與 jPCA
動力學的一個穩健特徵是群體軌跡會旋轉。jPCA直接檢驗這一點：它擬合限制為反對稱（純旋轉、無增長）的最佳動力學矩陣，並找出活動在各伸手條件間一致旋轉的平面。
\min_{M}\ \lVert \dot{X} - M X \rVert_F^{2} \quad \text{subject to} \quad M = -M^{\top}jPCA 擬合最佳的純旋轉（反對稱）動力學 M；強而一致的旋轉是生成器（而非靜態編碼）的標誌。
jPCA 藉由對資料配適「最佳的純旋轉動力學」來問：群體的流動有多少是純旋轉。找到強而一致的旋轉，是內部生成器（而非靜態刺激編碼）的指紋。
- \dot{X},\ X
- 隨時間的狀態變化與狀態本身。
- M
- 配適出的動力學矩陣，受限為反對稱。
- M = -M^{\top}
- 強制純旋轉的反對稱約束。
- \lVert \cdot \rVert_F^{2}
- Frobenius 範數——總平方配適誤差。
畫在 jPCA 平面上，神經狀態在伸手時描出圓形迴圈——這就是旋轉動力學。
要誠實看待它證明了什麼。旋轉結構是動力學的有力證據，卻非證明——某些表徵方案也能產生看似旋轉的現象。jPCA 之所以有份量，靠的是可重現性：這些旋轉在不同實驗室、作業與物種間反覆出現。
固定點、吸子與 RNN
非線性動力學圍繞著固定點與吸子——即 \dot{\mathbf{x}}=0 的狀態——組織起來。線吸子可維持姿勢；旋轉暫態可生成伸手。訓練來輸出肌電（EMG）的遞迴網路模型會發展出與皮質驚人相似的內部動力學，把「A 究竟是什麼」這個模糊問題化為一個具體、可檢驗、且其固定點可被找出與擾動的模型。
對一個平滑的自主動力系統而言，兩個鄰近狀態不可能有天差地遠的導數——否則流就無從定義。軌跡纏繞量化了對此的違反。運動皮質把纏繞維持得很低（與生成器一致），而某些感覺區則高度纏繞。低纏繞也是實用的恩賜：它有很大一部分解釋了運動皮質軌跡為何如此平滑、易解碼且抗雜訊。