把運動意圖當成隱藏狀態
把你想要的東西建模成隱藏狀態 \mathbf{x}_k——對游標而言就是位置與速度，\mathbf{x} = [x, y, v_x, v_y, 1]^\top（末尾的 1 用來吸收基線偏移）。你量測到的神經特徵是觀測量 \mathbf{z}_k——即分箱放電率向量。一個狀態空間模型以兩條線性高斯方程把它們耦合起來。
\begin{aligned} \mathbf{x}_k &= A\,\mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{w}_k, & \mathbf{w}_k &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, W) \\ \mathbf{z}_k &= C\,\mathbf{x}_k + \mathbf{q}_k, & \mathbf{q}_k &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, Q) \end{aligned}上式為軌跡（狀態）模型，下式為觀測（編碼）模型。解碼器所知的一切都住在 A, W, C, Q 之中。
卡爾曼濾波器把運動建模成一個隨時間滑行前進的隱藏狀態（軌跡模型），並由它生成你觀測到的神經放電（觀測模型）。解碼器對世界的一切假設，都塞進四個矩陣裡。
- \mathbf{x}_k
- 第 k 步的隱藏狀態（例如游標速度）。
- \mathbf{z}_k
- 第 k 步觀測到的神經放電。
- A,\ W
- 狀態轉移與其過程雜訊共變異數。
- C,\ Q
- 狀態如何映到神經觀測，以及觀測雜訊。
A 說「速度會延續」；C 說「這些神經元對那個速度放這麼多電」——這就是速度卡爾曼濾波器。
兩個模型：動力學與編碼
軌跡模型 A 是一個平滑先驗——一個近似隨機漫步的過程，表示速度會延續且略受阻尼；W 設定狀態每個時間窗可跳動的幅度。觀測模型 C 是編碼映射：每一列是某通道對動作學參數的線性調諧，因此 C\mathbf{x} 是該狀態所預測的放電率，而 Q 是神經雜訊共變異數。兩者皆由一段短暫的校準區段（觀察或嘗試的動作）擬合而得。
預測—更新遞迴
每個時間窗執行兩步。預測：把上一個估計推過動力學，並讓不確定性增長。更新：依你對新神經量測的信任程度，把預測拉向該量測。
\hat{\mathbf{x}}_k^- = A\,\hat{\mathbf{x}}_{k-1}, \qquad P_k^- = A\,P_{k-1}\,A^\top + W預測步：先驗狀態及其共變異數。
在看到新的神經資料之前，濾波器把上一次的估計透過動力學向前推，猜出狀態跑到哪裡，並擴大它的不確定度，以反映「預測從不完美」。
- \hat{\mathbf{x}}_k^-
- 量測之前的先驗（預測）狀態。
- A\,\hat{\mathbf{x}}_{k-1}
- 上一次估計被動力學向前推。
- P_k^-
- 預測的不確定度（共變異數）。
- W
- 加入的過程雜訊，使不確定度膨脹。
「上一框游標往右移，所以預測它繼續往右」——只是誤差範圍變得更寬。
\begin{aligned} K_k &= P_k^-\,C^\top\!\left(C\,P_k^-\,C^\top + Q\right)^{-1} \\ \hat{\mathbf{x}}_k &= \hat{\mathbf{x}}_k^- + K_k\,\underbrace{\left(\mathbf{z}_k - C\,\hat{\mathbf{x}}_k^-\right)}_{\text{innovation}} \\ P_k &= \left(I - K_k C\right)P_k^- \end{aligned}更新步：卡爾曼增益將創新（量測殘差）相對於先驗加以加權。
現在新的神經量測到了。濾波器把它和原本的預期相比（創新），再依卡爾曼增益決定的幅度，把預測往資料方向推——神經訊號可靠時就更信量測，否則就更信預測。
- K_k
- 卡爾曼增益——在預測與量測之間的信任旋鈕。
- \mathbf{z}_k - C\,\hat{\mathbf{x}}_k^-
- 創新：實際觀測減去預期觀測。
- \hat{\mathbf{x}}_k
- 校正後的（後驗）狀態估計。
- P_k
- 用了量測之後降低的不確定度。
若神經元放電比「往右移」的預測還多，卡爾曼增益就把速度往上修正。
卡爾曼增益 K_k 講的全是信任：當神經雜訊 Q 很大時它縮小，濾波器倚賴先驗（平滑、遲滯）；當 Q 很小時它增大，濾波器追逐量測（靈敏、抖動）。創新 \mathbf{z}_k - C\hat{\mathbf{x}}_k^- 是新資訊；若模型正確它應為白噪聲，這也是一個即時診斷——用以判斷編碼模型是否已漂移。
# one closed-loop bin k of a velocity Kalman filter x_pred = A @ x # predict state (pos, vel) P_pred = A @ P @ A.T + W S = C @ P_pred @ C.T + Q # innovation covariance K = P_pred @ C.T @ inv(S) # Kalman gain x = x_pred + K @ (z - C @ x_pred) # correct with firing rates z P = (I - K @ C) @ P_pred cursor_velocity = x[2:4] # drive the effector # user sees the cursor move, adjusts intention -> next z
調整濾波器就是調整手感
平滑與遲滯之間沒有免費午餐。較大的過程雜訊 W（或較小的 Q）給出靈敏但抽動的游標；反之則給出平滑但遲鈍的游標。實務上你要依使用者的操控手感、而非離線誤差來調整比值 W/Q——離線擬合最好的設定，往往遲滯到無法操作。
乾淨模型崩壞之處
此濾波器僅在其假設下最佳，而真實皮質會違反這些假設。調諧 C 在單次內與跨單次間漂移；積分後的速度會累積位置偏差；而校準是在開迴路下蒐集的，其統計特性與解碼器實際運行的閉迴路情境不同。每一種失效都有對策——而每一種對策正是下一章的主題。