正問題容易，反推不易
已知電流源時，電位不過是一堆 1/r 項的疊加——正問題是良置的。但原始電位是電流的空間低通、被模糊過的影像，因為 1/r 核本身就是平滑算子。要解讀層狀記錄，我們想把電流反推回來。這就是電流源密度分析。
電流源密度：電位的拉普拉斯
重排帕松方程，體積電流源密度就是電流密度散度的負值——正比於 V 的拉普拉斯。
C(\mathbf{r}) = -\nabla\cdot\mathbf{J} = -\nabla\cdot\big(\sigma \nabla V\big)\;\xrightarrow{\;\sigma=\text{const}\;}\;-\sigma \nabla^{2} VCSD 即（以導電率加權的）電位拉普拉斯；匯為負、源為正。
電流源密度（CSD）告訴你電流實際上在哪裡進入（源）或離開（匯）組織，而不只是被抹開的電壓。數學上它是電壓的曲率（拉普拉斯）——電壓在哪裡鼓起，就代表那裡有電流注入。
- C(\mathbf{r})
- 電流源密度——每一點每單位體積進出的電流。
- \mathbf{J}
- 流經組織的電流。
- \nabla^{2}V
- 拉普拉斯算子——衡量電壓彎曲的劇烈程度。
- -\sigma
- 導電率加權與正負號：匯為負、源為正。
在接點間距為 h 的線性層狀探針上，一維 CSD 可用二階空間差分近似——沿深度方向的離散拉普拉斯。
C_k \approx -\sigma\,\dfrac{V_{k+1} - 2V_k + V_{k-1}}{h^{2}}層狀陣列上的一維 CSD 估計：在接點 k 的三點二階差分。
在穿過皮質的線性接點陣列上，你只用接點 k 的兩個鄰居就能估計其 CSD——這是二階導數的離散替身。若中間接點的值明顯偏離兩鄰居的平均，就代表那裡有電流進出。
- C_k
- 接點 k 的 CSD 估計。
- V_{k-1},V_k,V_{k+1}
- 該接點及其上下兩個相鄰接點的電壓。
- h
- 相鄰接點之間的間距。
- V_{k+1}-2V_k+V_{k-1}
- 三點二階差分——曲率的離散度量。
若兩鄰居都讀到 0、中間接點讀到 1，二階差分就不為零，標示出 k 處有源或匯。
# 1-D current-source density from a laminar probe
# V: array (n_depth x n_time), h: contact spacing (m), sigma: S/m
import numpy as np
def csd_1d(V, h, sigma=0.3):
d2V = (V[2:] - 2*V[1:-1] + V[:-2]) / h**2 # second spatial difference
return -sigma * d2V # sinks < 0, sources > 0LFP 究竟由什麼生成
LFP 生成的主要機制是排列整齊的錐體樹突上的突觸跨膜電流，而非棘波。頂樹突上的興奮性突觸在該處形成一個匯，並在胞體附近形成分佈的返回源——即樹突偶極。由於皮質錐體細胞幾何排列整齊，這些偶極相加而非相消（開放場幾何）。
其他貢獻者包括樹突 Ca²⁺ 棘波、後超極化，以及——具爭議地——棘波「滲漏」到低頻。正因這種混合，LFP 雖然強大，卻確實難以歸因於單一來源。
空間到達範圍與低通錯覺
一個 LFP 接點能「看」多遠？估計從數百 µm 到數 mm 不等，原因在於電流源的相關結構：相關（同步）的輸入相干疊加、傳得遠，而不相關的源相消、停留在局部。到達範圍不是固定半徑——它取決於底層活動的同步性。
組織本身也略帶頻率相依與非等向性（細胞外導電率），這增加了一些低通特性，但最大的「空間低通」效應是幾何造成的（1/r 核），而非介電。
這對解碼器為何重要
若你的特徵是陣列上的頻帶功率或 CSD，記住每個通道都是加權的體積平均。兩個通道可能因共用記錄體積而近乎重複——這會膨脹表觀維度並誤導樸素的共變異估計（黎曼與機器學習軌道會再遇到這個主題）。理解正向物理，才能判斷像表面拉普拉斯這樣的空間濾波是換到真正的局部性，還是只是重整了雜訊。