重读 epsilon–delta
回忆epsilon–delta 定义：f 在 a 处连续，是指对每个 epsilon > 0 都存在 delta > 0，使 |x - a| < delta 迫使 |f(x) - f(a)| < epsilon。把结论读成：只要 x 落入以 a 为心、半径 delta 的球，f(x) 就落入以 f(a) 为心、半径 epsilon 的球。用开球的话说，f(a) 周围每个开球的原像都含有 a 周围的一个开球。由于开集恰是开球之并，这与“任意开集的原像是开的”是同一回事。
拓扑定义
设 X、Y 为拓扑空间。映射 f : X → Y 称为连续映射，若对 Y 中每个开集 V，其原像 f⁻¹(V) 在 X 中是开的。这就是定义的全部——没有点、没有 epsilon、没有距离。它是整体的而非逐点的，但在度量情形下恰好刻画了同一批映射，下一段证明会说明这点。
Theorem. For f : R -> R, the two definitions agree:
(A) epsilon-delta continuous at every point a;
(B) preimage of every open set is open.
(A) => (B):
Let V ⊆ R be open. Take any a ∈ f^{-1}(V), so f(a) ∈ V.
Since V is open, some ball (f(a)-epsilon, f(a)+epsilon) ⊆ V.
By (A) there is delta > 0 with |x-a| < delta => |f(x)-f(a)| < epsilon,
i.e. f maps (a-delta, a+delta) into (f(a)-epsilon, f(a)+epsilon) ⊆ V.
Hence (a-delta, a+delta) ⊆ f^{-1}(V).
Every point of f^{-1}(V) has such a ball around it, so f^{-1}(V) is open.
(B) => (A):
Fix a and epsilon > 0. The set V = (f(a)-epsilon, f(a)+epsilon) is open,
so by (B) the set U = f^{-1}(V) is open and contains a.
Openness of U gives delta > 0 with (a-delta, a+delta) ⊆ U,
meaning |x-a| < delta => f(x) ∈ V => |f(x)-f(a)| < epsilon.
That is exactly the epsilon-delta condition at a. ∎为何用原像，与一个免费定理
回报是难定理变得平凡。以连续映射之复合仍连续为例：用 epsilon–delta 需嵌套两次选 delta；用原像只需一行。若 f : X → Y 与 g : Y → Z 连续，W ⊆ Z 开，则 g⁻¹(W) 在 Y 中开，故 f⁻¹(g⁻¹(W)) 在 X 中开。但 f⁻¹(g⁻¹(W)) = (g∘f)⁻¹(W)，所以 W 在 g∘f 下的原像是开的。证毕。一个等价判据是：f 连续当且仅当每个闭集的原像是闭的——取补即得。