从开球到开集
在度量空间里你已知道什么是开球：B(x, r) 是与 x 距离小于 r 的点之集。当 U 中每一点都坐落在某个仍完全含于 U 的开球之内时，称集合 U 是开的——通俗地说，每个点都有一点活动余地。现在留意我们在证明中真正用到的关于开集的事实：整个空间与空集是开的；任意一族开集之并是开的；两个开集之交是开的。其余几乎一切都仅由这三条推出。
这一观察就是拓扑的全部思想。我们不再从距离出发推导开集，而是直接从开集本身出发，规定哪些子集算作开集，只需服从那三条规则。距离从此不再登场。
开集公理
集合 X 上的一个拓扑是 X 的若干子集组成的集族 τ——即我们约定称为开的那些——恰好满足下面三条公理。序对 (X, τ) 就是一个拓扑空间。注意其不对称性：可以做任意多个并，却只能做有限多个交。
- （T1）空集 ∅ 与整个空间 X 都是开的。
- （T2）任意一族开集之并是开的——哪怕是无限甚至不可数的并。
- （T3）有限多个开集之交是开的。
Claim: in any topological space, a finite intersection of open sets is open.
Proof by induction on the number of sets k.
Base case k = 2: U1 and U2 open => U1 ∩ U2 open (this is axiom T3).
Inductive step: suppose any intersection of k open sets is open.
Let U1, ..., U_{k+1} be open. Write
U1 ∩ ... ∩ U_{k+1} = (U1 ∩ ... ∩ Uk) ∩ U_{k+1}.
By the inductive hypothesis V := U1 ∩ ... ∩ Uk is open.
Then V ∩ U_{k+1} is an intersection of TWO open sets, hence open by T3.
So the statement holds for k+1, and by induction for every finite k. ∎
Note: the proof breaks for infinite intersections — there is no "last" set
to peel off, and the induction never reaches it. T3 really is finite-only.邻域与最简单的例子
点 x 的一个邻域是任意含 x 的开集（有些书称含某这样开集的任意集合）。邻域取代了度量中“靠近 x”的概念：某性质若在某邻域内处处成立，就说它在 x 附近成立。两个极端拓扑框住了其余所有：离散拓扑令每个子集皆开——点之间最大限度地分离；平凡（密着）拓扑只有 ∅ 与 X 开——点之间无法分离。有趣的拓扑都介于二者之间。