正项：有界即收敛
当每个 a_n >= 0 时，部分和 s_N 只能增大：s_{N+1} = s_N + a_{N+1} >= s_N。由单调收敛定理，单调递增数列收敛当且仅当它有上界。所以对非负级数，收敛恰好等价于部分和有界。这正是一切比较判别法能奏效的原因。
于是比较判别法说：若对一切大的 n 有 0 <= a_n <= b_n 且 sum b_n 收敛，则 sum a_n 也收敛（它的部分和被困在某界之下）。若 a_n >= b_n >= 0 而 sum b_n 发散，则 sum a_n 也发散。从上方挤压证收敛；从下方顶推证发散。
当不等式不便手工建立时，极限比较判别法更友好：若 a_n, b_n > 0 且 a_n/b_n -> L，其中 0 < L < infinity，则 sum a_n 与 sum b_n 同时收敛或发散。你只需知道 a_n 的主阶行为。
积分判别法解决 p 级数
标准尺子是 p 级数 sum 1/n^p。要干净地判定它，我们用积分判别法：若 f 为正、递减、连续且 f(n) = a_n，则 sum a_n 与 f 从 1 到 infinity 的反常积分同时收敛或发散。直观图像是夹在曲线之间的矩形，把和与面积作比较。
p-series sum_{n=1}^∞ 1/n^p, decided by the integral test.
Let f(x) = 1/x^p on [1, infinity): positive, continuous, decreasing
for p > 0. Compare the series to integral_1^infinity x^(-p) dx.
Case p != 1:
integral_1^R x^(-p) dx = [ x^(1-p)/(1-p) ]_1^R
= (R^(1-p) - 1)/(1 - p).
As R -> infinity:
if p > 1, then 1-p < 0, so R^(1-p) -> 0 => integral = 1/(p-1) (finite) => CONVERGES
if p < 1, then 1-p > 0, so R^(1-p) -> infinity => DIVERGES
Case p = 1:
integral_1^R (1/x) dx = ln R -> infinity => DIVERGES
(this recovers the harmonic series)
Conclusion: sum 1/n^p converges <=> p > 1.让比较判别法上场
- 看 a_n 在大 n 时的主阶——剥去常数和低阶项。
- 猜一个匹配该主阶的 p 级数 1/n^p（或几何 r^n）。
- 用极限比较判别法确认：算 a_n / (1/n^p) -> L 并验 0 < L < infinity。
- 从已知的尺子级数行为读出答案。
Test sum (2n + 1)/(n^3 + 5).
Leading order: numerator ~ 2n, denominator ~ n^3,
so a_n ~ 2n / n^3 = 2/n^2. Compare with b_n = 1/n^2 (p = 2 > 1).
Limit comparison:
a_n / b_n = [ (2n+1)/(n^3+5) ] * n^2
= (2n^3 + n^2) / (n^3 + 5)
-> 2 as n -> infinity (0 < 2 < infinity).
Since sum 1/n^2 converges (p = 2 > 1),
by limit comparison sum (2n+1)/(n^3+5) CONVERGES.