把无穷和变成一个数列
写下 a_1 + a_2 + a_3 + … 看上去要我们做无穷多次加法，谁也做不到。分析学的窍门是绝不一次性把无穷多个数加起来。我们从各项 a_n 出发，构造一个全新的数列，即部分和数列：s_1 = a_1，s_2 = a_1 + a_2，s_3 = a_1 + a_2 + a_3，一般地 s_N = a_1 + … + a_N。每个 s_N 都是货真价实的有限和。
现在我们如此定义无穷级数 sum a_n 收敛到数 s：恰当部分和数列以 s 为极限，即 s_N -> s。这时我们称 s 为和，记 sum a_n = s。若部分和没有有限极限，级数就发散。所以收敛级数无非——也恰恰——是一个乔装打扮的收敛数列。
完整算出几何级数
唯一一个我们能手算出和的级数是几何级数 sum_{n=0}^∞ r^n。它的部分和能化成闭形式，由此极限立刻可见。这值得记住，因为后面几乎每个判别法都暗中拿它来比较。
Claim: for |r| < 1, sum_{n=0}^∞ r^n = 1/(1 - r).
Step 1. Write the N-th partial sum and multiply by r.
s_N = 1 + r + r^2 + ... + r^N
r*s_N = r + r^2 + ... + r^N + r^(N+1)
Step 2. Subtract to telescope the middle.
s_N - r*s_N = 1 - r^(N+1)
(1 - r) s_N = 1 - r^(N+1)
s_N = (1 - r^(N+1)) / (1 - r) [valid since r != 1]
Step 3. Take the limit N -> infinity.
If |r| < 1 then r^(N+1) -> 0, so
s_N -> 1/(1 - r).
Therefore the series converges to 1/(1 - r).
Step 4. If |r| >= 1 the terms r^n do NOT tend to 0,
so s_N has no finite limit and the series diverges.
Example: r = 1/2 gives 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 1/(1 - 1/2) = 2.请注意收敛在哪一步被决定：在第 3 步，取决于是否 r^(N+1) -> 0。这个无穷和之所以真实存在，仅仅因为那一个数列极限存在。一切都系于部分和。
裂项：当和坍缩时
第二族能精确求和的是裂项级数，其中每一项是一个差 b_n - b_{n+1}。几乎所有东西都互相抵消，只剩两端。它是几何级数那招的表亲，也是观察部分和哲学的清爽例子。
Sum sum_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)).
Partial fractions: 1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1).
s_N = sum_{n=1}^N (1/n - 1/(n+1))
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/N - 1/(N+1))
= 1 - 1/(N+1) [every interior term cancels]
Limit: s_N = 1 - 1/(N+1) -> 1 as N -> infinity.
Therefore sum_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)) = 1.