什么是子列
(a_n) 的子列，是你选取一个无限、严格递增的下标列 n_1 < n_2 < n_3 < … 后，依次读出 a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, … 所得。你可以跳过项，但绝不重排、绝不用尽。从 a_n = (-1)^n，偶下标给出常子列 1, 1, 1, …，奇下标给出 -1, -1, -1, …。
关于子列最干净的事实：若 a_n -> L，则每个子列也收敛于 L。其逆否命题是一台发散探测器。若两个子列趋于不同的极限，则母数列不可能收敛——这正是 (-1)^n 发散的原因，因为它的偶、奇子列分别趋于 1 和 -1。
Bolzano–Weierstrass
这就是头条定理。Bolzano–Weierstrass 定理说：每个有界实数数列都有收敛子列。一个有界数列整体上可能拒绝收敛——如 (-1)^n——但它永远无法摆脱“某一部分安定下来”的命运。这是数轴上紧性的数列层面形式。
最干净的证明是二分法加区间套定理。把数列困在一个区间内，将其对半分，保留仍含无穷多项的那一半。区间收缩到一点，而精心选取的子列被漏斗般引向该点。
Bolzano-Weierstrass by bisection.
Let (a_n) satisfy |a_n| <= M, so all terms lie in I_0 = [-M, M].
Step: split the current interval in half. At least one half
contains a_n for infinitely many n; call that half I_{k+1}.
-> I_0 ⊇ I_1 ⊇ I_2 ⊇ ... , each I_{k} of length 2M / 2^k.
Build the subsequence: pick n_1 with a_{n_1} in I_1; then pick
n_2 > n_1 with a_{n_2} in I_2 (possible: infinitely many to choose from);
in general n_{k} > n_{k-1} with a_{n_k} in I_k.
Nested interval theorem: the I_k shrink to a single point L.
For k large, I_k has length < e, and both a_{n_k} and L lie in I_k, so
|a_{n_k} - L| <= length(I_k) < e.
Hence a_{n_k} -> L. QED上极限、下极限，以及去向何方
Bolzano–Weierstrass 保证子列极限存在；上极限与下极限把它们组织起来。(a_n) 的上极限是任何子列所能趋近的最大值，下极限是最小值。对有界数列，两者恒存在，且 a_n 收敛当且仅当 limsup a_n = liminf a_n——此时这个公共值就是极限。对 (-1)^n，limsup = 1 而 liminf = -1，恰好记录了它为何发散。