有界、单调，与极限的运算

有界与单调

有界数列是其各项永不逃出固定窗口的数列：存在数 M 使对所有 n 有 |a_n| <= M。第一个基本事实：每个收敛数列都有界。（越过某个 N，各项落在 L 的 1 范围内，故被 |L| + 1 控制；前面有限多项有一个最大绝对值；取最大者即可。）逆命题不成立——(-1)^n 有界却发散——所以仅有界并不够。

单调数列只朝一个方向走：递增（对所有 n 有 a_{n+1} >= a_n）或递减（对所有 n 有 a_{n+1} <= a_n）。单调数列无法振荡，故它们唯一可能不收敛的方式，就是奔向无穷。这一观察是下一个定理的核心。

单调收敛定理

单调收敛定理说：递增且有上界的数列收敛，其极限是各项的上确界。（对称地，递减且有下界的数列收敛于下确界。）这是第一个无需有人事先告诉你答案就召唤出极限的定理——它之所以成立，恰因实数借助最小上界性质而完备。

Theorem: (a_n) increasing and bounded above => converges to L = sup{a_n}.

Proof:
  The set S = {a_n : n in N} is nonempty and bounded above,
  so by the least upper bound property L = sup S exists.
  Let e > 0. Since L - e is NOT an upper bound (L is the LEAST one),
  some term a_N satisfies a_N > L - e.
  For all n > N, monotonicity gives a_n >= a_N > L - e.
  Also a_n <= L for every n (L is an upper bound), so a_n <= L < L + e.
  Combining:  L - e < a_n <= L,  hence |a_n - L| < e.
  Therefore a_n -> L.  QED

上确界给出 N：因 L 是“最小”上界，L - e 无法成为界，故某项已超过它——而单调性使其后各项都保持在它之上。

极限的运算与夹逼

一旦你知道若干极限，极限的运算便让你组合它们而无需回到 epsilon。若 a_n -> A 且 b_n -> B，则：a_n + b_n -> A + B；a_n - b_n -> A - B；a_n b_n -> AB；且当 B 非 0（且各项最终非零）时 a_n / b_n -> A/B。每条用 epsilon 证一次，便可永远重用——这就是认真建立定义的回报。

夹逼定理是另一员主力：若最终有 a_n <= b_n <= c_n，且 a_n -> L、c_n -> L，则 b_n -> L 也成立。它通过把未知数列夹在两个已知数列之间，来求那些无法直接攻克的极限。

Evaluate  d_n = (3n^2 + 2n) / (n^2 + 5)  using the algebra of limits.

Divide top and bottom by n^2:
  d_n = (3 + 2/n) / (1 + 5/n^2).
Known facts: 2/n -> 0 and 5/n^2 -> 0 (from 1/n -> 0 and products).
Numerator -> 3 + 0 = 3.   Denominator -> 1 + 0 = 1 (nonzero!).
By the quotient rule:  d_n -> 3/1 = 3.

Squeeze example:  e_n = (sin n) / n.
Since -1 <= sin n <= 1, we have  -1/n <= e_n <= 1/n.
Both -1/n -> 0 and 1/n -> 0, so by the squeeze  e_n -> 0.

两个干净的求值，全程不见 epsilon：极限运算处理有理表达式，夹逼处理振荡的分子。