拆解定义
这就是 epsilon–N 定义。称 (a_n) 收敛于 L，记作 a_n -> L，如果：对每个 epsilon > 0，存在自然数 N，使得对所有 n > N 都有 |a_n - L| < epsilon。量 |a_n - L| 是间隙的绝对值，即 a_n 到 L 的距离。故 |a_n - L| < epsilon 读作“第 n 项落在 L 的 epsilon 范围内”。
量词的顺序至关重要。对每个 epsilon 在前；之后才由存在 N 来回应它。因此 N 允许依赖 epsilon——epsilon 越小，N 越大——这正是第 1 篇中“起始下标往后推”的模式。把顺序倒过来，就成了断言一个 N 对所有 epsilon 都管用，那太强了，几乎从不成立。
写全的第一个证明
标准套路：取任意 epsilon > 0，做草稿以发现 n 须多大，然后通过选定 N 正向写出证明。下面是 1/n -> 0 的完整证明。注意结构——草稿处是你找到 N 的地方，干净的证明处是你说理的地方。
Claim: 1/n -> 0. Scratch (find N): we want |1/n - 0| < e. |1/n - 0| = 1/n (since n > 0). 1/n < e <=> n > 1/e. So any N with N >= 1/e will do. Proof: Let e > 0 be given. By the Archimedean property, choose a natural N with N > 1/e. Let n > N. Then n > 1/e, so 1/n < e. Hence |1/n - 0| = 1/n < e. Since e > 0 was arbitrary, 1/n -> 0. QED
唯一性，以及证明发散
定义立刻显出价值。收敛数列只有一个极限。设 a_n -> L 且 a_n -> M，而 L 不等于 M。取 epsilon = |L - M| / 2 > 0。从某处起 a_n 落在 L 的 epsilon 内；从某处起落在 M 的 epsilon 内。越过这两处，三角不等式给出 |L - M| <= |L - a_n| + |a_n - M| < epsilon + epsilon = |L - M|，即 |L - M| < |L - M|，矛盾。故 L = M，极限是良定义的。
要证明发散，就否定定义。数列“不”收敛于 L 意味着：存在某个 epsilon > 0，使得对每个 N 都有某个 n > N 满足 |a_n - L| >= epsilon。一个坏 epsilon、无穷多次出现，就足够了。看它如何干掉 b_n = (-1)^n。
Claim: a_n = (-1)^n does NOT converge.
Suppose toward contradiction a_n -> L for some L.
Take e = 1 in the definition. Then for some N,
|(-1)^n - L| < 1 for all n > N.
Pick an even n > N and an odd m > N (both exist). Then
|1 - L| < 1 and |-1 - L| < 1.
By the triangle inequality,
2 = |1 - (-1)| = |(1 - L) - (-1 - L)|
<= |1 - L| + |-1 - L| < 1 + 1 = 2.
So 2 < 2, a contradiction.
Therefore no such L exists: (-1)^n diverges. QED