数列是定义在自然数上的函数
实数数列并不神秘：它就是一串有序的数 a_1, a_2, a_3, …，每个自然数对应一项。严格地说，它是从自然数到实数的函数 n -> a_n，我们通常把整体记作 (a_n)。这里 n 是下标（指明位置），a_n 是该位置上的项。顺序很重要，而且这串数永不终止。
三个贯穿本指南的例子。数列 a_n = 1/n 依次为 1, 1/2, 1/3, 1/4, …，趋向零。数列 b_n = (-1)^n 永远地跳动 -1, 1, -1, 1, …。数列 c_n = n 攀升 1, 2, 3, …，奔向无穷。三者行为各异，而极限概念的全部意义，就是精确地说明这种差异。
要捕捉的想法是“最终靠近”
直观上，若 (a_n) 的各项随 n 增大而变得并保持任意靠近某数 L，则称 (a_n) 收敛于 L。对 a_n = 1/n，各项要多接近零就有多接近，且不再漂离，故极限为 0。承载分量的两个词是任意（没有哪个固定容差够用——你必须能击败每一个）与保持（只触及 L 一次不够；那种接近必须从某处起一直成立）。这就是收敛的种子。
想象在数轴上 L 周围画一条半宽为 epsilon 的细带——L 的一个非正式邻域。收敛于 L 意味着：无论你把带做得多窄，除有限多项外，所有项都落在带内。对 1/n，取 L = 0、带为 (-0.01, 0.01)，则从 n = 101 起每项都在带内；把带收窄，你只需稍晚一点开始。
How close is 1/n to 0? Want 1/n < 0.1 -> need n > 10 -> works from n = 11 Want 1/n < 0.01 -> need n > 100 -> works from n = 101 Want 1/n < 0.001 -> need n > 1000 -> works from n = 1001 Pattern: for ANY tolerance e > 0, take n > 1/e. Then 1/n < e, and it stays < e for every larger n too. The starting index moved, but it was always FINITE. That "for any e there is a starting index" is exactly convergence.
为什么我们终究需要一个定义
“靠近”富有启发性却又滑不可握。1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, … 收敛于 0 吗？它不断回到 0，却也不断迈开。b_n = (-1)^n 收敛吗？它总是靠近 -1 或 1 之一，却从不安定于一个。日常语言无法裁决这些情形；我们需要一个足够锐利、每次都能给出是或否的判据。这种锐利，正是数学分析赖以建立的根基。