连续函数都可积
标志性结论：闭有界区间上的每个连续函数都黎曼可积。秘诀在于，[a,b] 上的连续性会自动升级为一致连续性——存在一个对整段区间都管用的 δ，而不是每点各取一个。正是这个统一的 δ，让我们能一举控制处处的振幅 M_k − m_k。
Theorem: f continuous on [a,b] => f Riemann integrable on [a,b].
Proof. Let ε > 0. We aim for a partition with U(f,P) - L(f,P) < ε.
f is continuous on the compact [a,b], hence UNIFORMLY continuous:
there is δ > 0 such that |x - y| < δ => |f(x) - f(y)| < ε/(b - a).
Choose any partition P with mesh ‖P‖ < δ (e.g. n equal pieces, n large).
On each subinterval [x_{k-1}, x_k] f attains its max and min (Extreme Value Thm),
say at points p_k, q_k. Both lie in the piece, so |p_k - q_k| <= Δx_k < δ. Then
M_k - m_k = f(p_k) - f(q_k) <= |f(p_k) - f(q_k)| < ε/(b - a).
Sum it up:
U(f,P) - L(f,P) = sum (M_k - m_k) Δx_k
< (ε/(b-a)) * sum Δx_k
= (ε/(b-a)) * (b - a) = ε.
By the Riemann criterion, f is integrable. QED单调函数，以及更全的图景
连续是充分而非必要。函数可以跳跃却仍然可积。任何在 [a,b] 上单调的 f（比如递增）都可积，哪怕有无穷多个跳跃点。用 n 个等宽 (b−a)/n 的小段，各段振幅会望远镜式相消：
f increasing on [a,b], partition into n equal pieces, Δx = (b-a)/n.
For increasing f: M_k = f(x_k), m_k = f(x_{k-1}). So
U(f,P) - L(f,P) = sum_{k=1}^n ( f(x_k) - f(x_{k-1}) ) * Δx
= Δx * sum ( f(x_k) - f(x_{k-1}) ) (telescopes!)
= Δx * ( f(b) - f(a) )
= (b-a)(f(b) - f(a)) / n.
Given ε>0, pick n > (b-a)(f(b)-f(a))/ε. Then U - L < ε. Integrable. QED我们能推到多远？完整的答案是勒贝格判别准则：[a,b] 上的有界 f 黎曼可积，当且仅当它的不连续点集“测度为零”——可以用总长任意小的一族区间盖住。连续函数（无不连续点）与单调函数（至多可数个跳跃）都轻松通过；狄利克雷函数（处处不连续）则不通过。这里只点出这一地平线，它属于测度论。
你用来计算的法则
一旦函数可积，积分就遵守你预期的代数法则。它们都源自黎曼准则，再加上 sup、inf 在求和与缩放下的性质。
- 线性：若 f、g 可积且 c 为常数，则 ∫(f + g) = ∫f + ∫g 且 ∫(c·f) = c·∫f。
- 区间可加性：当 a < c < b 时，∫ 从 a 到 b = ∫ 从 a 到 c + ∫ 从 c 到 b。
- 单调性：若在 [a,b] 上逐点 f ≤ g，则 ∫f ≤ ∫g。特别地，f ≥ 0 给出 ∫f ≥ 0。
- 积分的三角不等式：|∫f| ≤ ∫|f|，它是三角不等式的积分版本（且只要 f 可积，|f| 也可积）。