函数何时可积？黎曼判别准则

两边一起逼

上一篇留给我们两族数——下和在下、上和在上，永不交错。自然的做法，是把每一族尽量推到底。把所有下和的上确界定义为下积分，把所有上和的下确界定义为上积分：

lower integral  =  sup over all partitions P  of  L(f, P)
upper integral  =  inf over all partitions P  of  U(f, P)

Because every lower sum <= every upper sum (previous guide):
   lower integral  <=  upper integral     ALWAYS, for any bounded f.

There is a permanent gap unless they happen to meet.

下积分永不超过上积分。

对有界的 f，这两个数总是存在——这由实数的完备性保证（每个有界集都有 sup 和 inf）。当下积分恰好等于上积分时，我们就说 f 在 [a,b] 上黎曼可积，二者的公共值就是积分 ∫ 从 a 到 b 的 f。若二者不等，就没有哪个数配叫“面积”，我们便拒绝对 f 积分。

黎曼准则

在实践中比较两个 sup/inf 很别扭。黎曼准则把可积性化为一条可直接检验的不等式，而且是货真价实的充要条件：f 在 [a,b] 上可积，当且仅当对每个 ε > 0 都存在某个分割 P，使 U(f,P) − L(f,P) < ε。只要找到一个把缝隙压到 ε 以下的分割就够了。

Claim: f integrable  <=>  for all ε>0 there is a partition P with U(f,P) - L(f,P) < ε.

(=>)  Suppose f integrable, common value I. By definition of sup and inf,
      pick P1 with  L(f,P1) > I - ε/2   and  P2 with  U(f,P2) < I + ε/2.
      Let P = P1 ∪ P2 (common refinement). Refinement keeps L up and U down, so
          L(f,P) >= L(f,P1) > I - ε/2 ,    U(f,P) <= U(f,P2) < I + ε/2.
      Subtract:  U(f,P) - L(f,P) < (I+ε/2) - (I-ε/2) = ε.   done.

(<=)  Suppose for each ε>0 some P has U(f,P) - L(f,P) < ε. Always
          L(f,P) <= lower integral <= upper integral <= U(f,P),
      so   0 <= upper integral - lower integral <= U(f,P) - L(f,P) < ε.
      A non-negative number smaller than EVERY ε must be 0.
      Hence upper integral = lower integral, i.e. f is integrable.   done.

黎曼准则的两个方向，完整写出。

一个不可积的例子

为体会准则的威力，看狄利克雷函数：在 [0,1] 上，f(x) = 1（当 x 为有理数），= 0（当 x 为无理数）。在任何子区间上，无论多小，都同时含有有理数与无理数，所以对每个 k 都有 M_k = 1、m_k = 0。于是对每个分割 P 都有 U(f,P) = 1、L(f,P) = 0。缝隙恒为 1；上积分是 1，下积分是 0，永不相遇。这个 f 不是黎曼可积的。