切分区间：分割与达布和

什么是分割

固定闭区间 [a,b] 上的一个有界函数 f。[a,b] 的一个分割 P 就是一串有限的点 a = x_0 < x_1 < … < x_n = b。这些点把区间切成 n 个子区间 [x_{k-1}, x_k]。整个积分的思路，就是用一根根细长方形的面积之和去近似 f 下方的面积——每个子区间上一根——并且只要切得够细，就能让近似要多好有多好。

第 k 个子区间的宽度记作 Δx_k = x_k − x_{k-1}。这些宽度中最大的那个叫做 P 的网格（也称模），写作 ‖P‖ = max_k Δx_k。网格小就意味着每一段都很细。我们并不要求各段等长；允许长短不一会让某些证明更简洁。

上和与下和

在每个子区间上，长方形该多高？两个诚实的选择：函数在这段上能达到的最高与最低。因为 f 有界，在第 k 段上它有上确界 M_k = sup f（在 [x_{k-1}, x_k] 上）和下确界 m_k = inf f（同一段上）。达布上和用高的那些长方形，达布下和用矮的那些：

U(f, P) = sum_{k=1}^{n} M_k * Δx_k   with M_k = sup f on [x_{k-1}, x_k]
L(f, P) = sum_{k=1}^{n} m_k * Δx_k   with m_k = inf f on [x_{k-1}, x_k]

Since m_k <= f(t) <= M_k for every t in the k-th piece,
   L(f, P) <= (true area, if it exists) <= U(f, P)   for EVERY partition P.

Example: f(x) = x^2 on [0, 1], partition P = {0, 1/2, 1}, Δx_k = 1/2.
  Piece [0, 1/2]: m_1 = 0,    M_1 = 1/4
  Piece [1/2, 1]: m_2 = 1/4,  M_2 = 1
  L(f, P) = 0*(1/2) + (1/4)*(1/2) = 1/8 = 0.125
  U(f, P) = (1/4)*(1/2) + 1*(1/2) = 5/8 = 0.625
So the area lies in [0.125, 0.625]. (The true value is 1/3 = 0.333…)

加细只会变好，不会变坏

若分割 Q 含有 P 的所有点（也许还更多），就称 Q 是 P 的一个加细。关键的结构性事实是：加细只会抬高下和、压低上和。添加一个切点会把一段分成两段；在更小的每一段上，下确界只会更大、上确界只会更小，因为你是在更小的集合上取 sup/inf。

1. 若 Q 加细 P，则 L(f, P) ≤ L(f, Q) ≤ U(f, Q) ≤ U(f, P)。下和上升、上和下降，仍然把面积夹在中间。
2. 对任意两个分割 P_1 与 P_2，它们的公共加细 Q = P_1 ∪ P_2 满足 L(f, P_1) ≤ L(f, Q) ≤ U(f, Q) ≤ U(f, P_2)。
3. 于是任何下和 ≤ 任何上和——哪怕来自毫不相干的两个分割。所有下和构成的集合，整体位于所有上和构成的集合之下。