绝对值与三角不等式

绝对值即距离

绝对值 |x| 在 x ≥ 0 时为 x，在 x < 0 时为 -x。它在分析学中的真正含义是距离：|x - y| 是 x 与 y 在数轴上相隔多远。两个事实几乎承担全部工作。其一，|x| ≤ a 等价于 -a ≤ x ≤ a；这把一个绝对值陈述化为可操作的双侧不等式。其二，|x*y| = |x|*|y|。

条件 |x - a| < delta 描述以 a 为中心、半径为 delta 的开区间——a 的一个邻域。这正是极限的 epsilon-delta 定义所用的语言，所以绝对值是分析学的语法。把 |x - y| 抽象出来便得到度量的概念，即一般空间上的距离函数。

三角不等式

三角不等式说：对一切实数 x, y 有 |x + y| ≤ |x| + |y|。写成距离形式 |x - z| ≤ |x - y| + |y - z|：从 x 到 z 的路程，绕道经过 y 不会更短。这是本学科最常用的不等式，因为它让你能把误差拆成几块、逐块控制——这是每个极限证明中估计的核心。

Proof of |x + y| <= |x| + |y|.
  For any real t we have -|t| <= t <= |t|.
  Apply to x:    -|x| <= x <= |x|
  Apply to y:    -|y| <= y <= |y|
  Add the two chains:
     -(|x| + |y|) <= x + y <= |x| + |y|
  An inequality -a <= u <= a is the same as |u| <= a, so
     |x + y| <= |x| + |y|.   QED

Reverse triangle inequality: | |x| - |y| | <= |x - y|.
  From |x| = |(x - y) + y| <= |x - y| + |y|, get |x| - |y| <= |x - y|.
  By symmetry |y| - |x| <= |x - y|. Combine: | |x| - |y| | <= |x - y|.

三角不等式与反向三角不等式，均已证明。