公理，以及 Q 断裂之处
完备性公理——最小上界性质——陈述如下：每个非空、上有界的实数集合在 R 中都有上确界。这一行加到有序域公理上，就完全刻画了 R。在重新命名意义下，恰好只有一个完备有序域，它就是我们称为实数轴的连续统。
下面这个反例说明 Q 缺这条性质。令 S = { x ∈ Q : x > 0 且 x*x < 2 }。在有理数范围内，这个集合非空（含 1）且上有界（被 2 界住）。然而 S 没有有理上确界：任何有理上界都能再压小一点而仍是上界，任何在界以下的有理数都能再抬大一点而仍在 S 中。那个候选者——根号 2——根本不在 Q 中。最小上界缺失了——有理数轴上有一个货真价实的洞。
两个推论：阿基米德与稠密
完备性立即给出阿基米德性质：自然数在 R 中无上界，故对任意实数 x 都有整数 n 使 n > x。等价地，对任意 epsilon > 0 都有 n 使 1/n < epsilon。这正是“可让 1/n 任意小”这一直觉的严格版本。
Theorem (Archimedean property): N is not bounded above in R. Proof by contradiction. Suppose N is bounded above. Then by COMPLETENESS, s = sup N exists in R. Since s is the LEAST upper bound, s - 1 is NOT an upper bound, so there is a natural number n with n > s - 1. But then n + 1 > s, and n + 1 is a natural number. This contradicts s being an upper bound of N. Hence N is unbounded above. QED Corollary: for every epsilon > 0 there is n in N with 1/n < epsilon.
由阿基米德性质得到有理数的稠密性：任意两个实数 a < b 之间必有有理数。取 n 使 1/n < b - a，使步长 1/n 比间隙更细；第一个超过 a 的倍数 m/n 必落在 b 以下。故 Q 在 R 中稠密——有理数无处不在，却仍留下要由完备性来填的洞。