界与有界性
设 S 是非空的实数集合。若对 S 中每个 x 都有 x ≤ M，则 M 是 S 的上界。若 m ≤ x 对每个 x 成立，则 m 是下界。有上界的集合称为上有界，有下界的称为下有界，两者皆有的是有界集。注意界不必属于 S，且一个集合有无穷多个界：若 M 可用，则任何更大的数亦可用。
S 的最大元（若存在）是落在 S 内部的上界。但许多集合没有最大元：开区间 (0, 1) 没有最大元，因为对任意 x < 1 都还有一个更大却仍小于 1 的元素。我们需要一个对有界集总存在的替代品——那就是上确界。
上确界：最小上界
S 的上确界，记作 sup S，是最小上界：一个数 L，使得 (1) L 是 S 的上界，(2) 没有更小的数是上界——若 M < L，则 M 不能界住 S。对偶地，下确界 inf S 是最大下界。当 sup S 恰好落在 S 中时它等于最大元；(0, 1) 的 sup = 1 但无最大元。
Claim: sup of S = { 1 - 1/n : n = 1, 2, 3, ... } equals 1.
Step 1 (upper bound): for every n, 1/n > 0, so 1 - 1/n < 1.
Hence 1 is an upper bound.
Step 2 (least): fix any epsilon > 0. We must find x in S with x > 1 - epsilon.
Choose n large enough that 1/n < epsilon
(possible by the Archimedean property — guide 3).
Then 1 - 1/n > 1 - epsilon, and 1 - 1/n is in S.
By the epsilon characterization, sup S = 1.
Note 1 is NOT in S, so S has no maximum.