有序域：代数与序

域公理

有序域是实分析的出发点。域是带有加法与乘法两种运算、并满足域公理的集合：两种运算都满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配律，存在互异的单位元 0 和 1，每个元素都有加法逆元，每个非零元素都有乘法逆元。有理数 Q、实数 R 与复数 C 都是域。整数 Z 不是——在 Z 内 2 没有乘法逆元。

你在中学代数里学到的一切——消去、移项、乘积为零当且仅当某因子为零——都是可从这些公理证明的定理，而非额外规则。这正是严格性的精神：一份简短而固定的假设清单，之后的每个事实都靠证明挣得。

Claim: in any field, x*0 = 0 for every x.
Proof.
  x*0 = x*(0+0)        (0 is the additive identity)
      = x*0 + x*0      (distributive law)
  Add the inverse -(x*0) to both sides:
  x*0 + (-(x*0)) = (x*0 + x*0) + (-(x*0))
  0 = x*0 + (x*0 + -(x*0))   (associativity)
  0 = x*0 + 0
  0 = x*0.                   QED
Nothing about 'numbers' was used — only the axioms.

一个一行的中学常识，从公理从头证明。

加上序

当我们挑出一个在加法与乘法下封闭的正元集合 P，并使得对每个 x，下列三者恰有其一成立：x 属于 P、x = 0、-x 属于 P，域就成为一个有序域。我们于是定义 x < y 表示 y - x 属于 P。由此，所有不等式规则随之而来：可在两边加同一量，可在两边乘以正数，乘以负数时方向反转。

一个漂亮的推论：平方永不为负。若 x 非 0，则 x 或 -x 为正，正数自乘为正，故 x*x > 0。特别地 1 = 1*1 > 0。这就已排除了复数成为有序域，因为在那里 i*i = -1 < 0。