阿贝尔定理与魏尔斯特拉斯逼近

阿贝尔定理：连续性延伸到端点

在半径之内，幂级数连续，因为它在闭子区间上一致收敛。但在级数恰好勉强收敛的某个端点处究竟会怎样？阿贝尔定理说：若半径 R = 1 的幂级数在端点 x = 1 处收敛，则其和在那里左连续，故端点处的值等于 x 从下方趋于 1 时和的极限。

为何这并非免费：在端点处收敛可能只是条件收敛，故 M-判别法在那里给不出一致收敛，简易连续性论证就失效。阿贝尔的证明用分部求和恰好在 [0, 1] 上提取出足够的一致性，把连续性推到边界。回报是：我们可以合法地把端点代入仅在半径之内证明的级数恒等式。

Recall from guide 3 (valid for |x| < 1):
   ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

Question: what is the value at the endpoint x = 1?

Step 1.  At x = 1 the series becomes  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...,
         the alternating harmonic series.  Terms 1/n decrease to 0,
         so by the alternating series test it CONVERGES (to some S).

Step 2.  By Abel's theorem the power-series sum is continuous from
         the left at x = 1, so
            S = lim_{x -> 1^-} ln(1 + x) = ln 2.

Conclusion:  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2.

Abel licenses the limit x -> 1^- even though convergence at x = 1
is only conditional, not absolute.

阿贝尔定理靠连续性对一个条件收敛级数求值。

魏尔斯特拉斯：多项式逼近一切连续函数

本轨道一直用多项式构造函数；魏尔斯特拉斯逼近定理则把箭头反过来。它说：若 f 是闭有界区间 [a, b] 上的连续函数，则对每个 epsilon > 0，存在普通多项式 p 使 [a, b] 上 |f(x) - p(x)| 的上确界 < epsilon。换言之，在上确界范数下，多项式在连续函数空间中稠密。

标准的构造性证明用伯恩斯坦多项式。为在 [0, 1] 上逼近 f，作 B_n(x) = sum from k=0 to n of f(k/n) * C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)。这些是仅由 f 的抽样值构造的真正多项式，并一致收敛于 f。其概率内核是：二项权 C(n,k) x^k (1-x)^(n-k) 集中在 k/n ≈ x 附近，故 B_n(x) 是聚集在 f(x) 周围的 f 值的加权平均。

全局图景与一个推广

幂/解析函数构成一个狭窄而刚性的类：等于自身的泰勒级数，故由一点处的芽数据决定。
连续函数远更一般——大多数处处不解析，有些甚至处处不可微。
魏尔斯特拉斯架起桥梁：尽管连续 f 不必本身是幂级数，它在每个紧区间上是多项式的一致极限。