逐项微分与积分

为何一致收敛是引擎

把无穷和与求导或积分互换并非自动成立——它需要一致收敛，而不仅是逐点收敛。对幂级数的好消息是：它们在严格落在半径之内的每个闭区间上一致收敛。所用工具是魏尔斯特拉斯 M-判别法。

Claim: sum c_n x^n converges uniformly on [-r, r] for any 0 < r < R.

Pick rho with r < rho < R.  Since rho < R the series converges at rho,
so its terms are bounded: |c_n| rho^n <= M for some M and all n.

For every x in [-r, r]:
   |c_n x^n| <= |c_n| r^n = (|c_n| rho^n) (r/rho)^n <= M (r/rho)^n.

Let M_n = M (r/rho)^n.  Since r/rho < 1, sum M_n is a convergent
geometric series, and |c_n x^n| <= M_n for ALL x in [-r, r].

By the Weierstrass M-test, sum c_n x^n converges UNIFORMLY on [-r, r].  QED

借几何控制项，在每个闭子区间上一致收敛。

逐项运算保持相同半径

对 sum c_n x^n 逐项微分得 sum n c_n x^(n-1)；逐项积分得 sum c_n x^(n+1)/(n+1)。第一个关键事实：两个新级数都与原级数有相同的半径 R。这由柯西–阿达马得出，因为 n^(1/n) -> 1，故把系数乘以 n 或乘以 1/(n+1) 不改变 n 次根的上极限。

第二个关键事实是：这些新级数确实代表原和的导数与原函数。设 f(x) = sum c_n x^n 在 (-R, R) 上。则逐项微分给出 f'(x) = sum n c_n x^(n-1)，逐项积分给出 f 从 0 到 x 的积分等于 sum c_n x^(n+1)/(n+1)。两者在半径之内都合法。

对积分：在 [0, x] 上的一致收敛允许你交换积分与无穷和（一致收敛保持积分）。这直接给出逐项积分。
对微分：微分后的级数 sum n c_n x^(n-1) 在闭子区间上一致收敛（同样的 M-判别法论证），且原级数在某点收敛。关于对导数一致收敛级数求导的定理便给出 f' 等于该级数。
迭代：f' 又是半径为 R 的幂级数，故它也可微。由归纳法，f 有任意阶导数——它在 (-R, R) 上是光滑函数。

一个有回报的实例

Start from the geometric series (|x| < 1):
   1/(1 - x) = sum_{n>=0} x^n.

Differentiate term by term (legal, same radius R = 1):
   1/(1 - x)^2 = sum_{n>=1} n x^(n-1) = 1 + 2x + 3x^2 + ...

Replace x by -x in the geometric series:
   1/(1 + x) = sum_{n>=0} (-1)^n x^n.

Integrate term by term from 0 to x (legal for |x| < 1):
   ln(1 + x) = sum_{n>=0} (-1)^n x^(n+1)/(n+1)
             = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

No new convergence work was needed: each operation kept R = 1.

靠逐项微积分免费导出两个著名级数。